Повторный предел

Повторные предельные значения. Для функции  u=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}) нескольких переменных можно определить понятие предельного значения по одной из переменных  x=x_{k}   при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предельного значения. Уясним это понятие на примере функции  u=f(x,y) двух переменных x и у. Пусть функция   u=f(x,y) задана в некоторой прямоугольной окрестности   \left | x-x_{0} \right |<d_{1}  ,   \left | y-y_{0} \right | <d_{2}  точки  M_{0}(x_{0},y_{0}) , за исключением, быть может, самой точки  M_{0}  . Пусть для каждого фиксированного y, удовлетворяющего условию  0<\left | y-y_{0} \right | <d_{2} существует предельное значение функции  u=f(x,y) одной переменной x в точке  x=x_{0}

\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y)=\varphi (y)  

и пусть, кроме того, существует предельное значение b функции   \varphi (y) в точке  y=y_{0} :

\lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}\varphi(y) =b

В этом случае говорят, что существует повторное предельное значение b для функции   u=f(x,y) в точке   M_{0} , которое обозначается следующим образом:

 \lim\limits_{y\rightarrow y_{0}} \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y) =b

Теорема:

Пусть функция  u=f(x,y) определена в некоторой прямоугольной окрестности   \left | x-x_{0} \right |<d_{1}  ,   \left | y-y_{0} \right | <d_{2}  точки  M_{0}(x_{0},y_{0}) и имеет в этой точке предельное значение b. Пусть, кроме того, для любого фиксированного x,  0<\left | x-x_{0} \right | <d_{1}, существует предельное значение  \psi =\lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}f(x,y) и для любого фиксированного y,  0<\left | y-y_{0} \right | <d_{2}, существует предельное значение  \phi (y)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} . Тогда повторные предельные значения  \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} \lim\limits_{y\rightarrow y_{0}} и  \lim\limits_{y\rightarrow y_{0}} \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y) существуют и равны b.

 

Пример решения:

Вычислить повторный предел функций f(x,y)=\frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}

Литература:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *