Бесконечные пределы

Определение

Пусть задана функция нескольких переменных [latex]A\subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} [/latex] и a —предельная точка множества [latex]A[/latex]. Если для любого числа [latex]M>0[/latex] существует такое число [latex]\delta [/latex], что при [latex]x\in A\cap U(a,\delta )[/latex] выполняется неравенство [latex]f(x)> M ( \left | f(x) \right | > M)[/latex], то говорят, что функция [latex]f(x)[/latex] стремится к + [latex]\infty[/latex] при, [latex]x\underset{A}{\rightarrow}a[/latex] и пишут:
[latex]\lim\limits_{x\to a}=+\infty[/latex] [latex](\lim\limits_{x\to a}=-\infty[/latex] или [latex]\lim\limits_{x\to a} =\infty )[/latex]
Во всех трех случаях функцию [latex]f(x)[/latex] называют бесконечно большой при [latex]x\underset{A}{\rightarrow}a[/latex].

Пример

Функция [latex]f(x, y) = \frac{1}{x^2+y^2}[/latex] является бесконечно большой при [latex](x, y) \rightarrow (0, 0)[/latex] Функция [latex]g(x, y) = \frac{x}{x^2+y^2}[/latex] стремится к [latex]\infty[/latex] при [latex](x, y)\underset{A}{\rightarrow} (0, 0)[/latex], если [latex]A[/latex] — сектор, заключенный между прямыми [latex]y = x[/latex] и [latex]y = {-x}[/latex] и расположенный в правой полуплоскости [latex]x > 0[/latex]. В самом деле, в этом секторе [latex]\left | y \right | < \left | x \right |[/latex] и поэтому:
[latex]\frac{x}{x^2+y^2}> \frac{x}{2x^2} = \frac{1}{2x}[/latex]
Функция [latex]g(x, y)[/latex] стремится к [latex]- \infty[/latex] при [latex](x, y)\underset{A}{\rightarrow} (0, 0)[/latex], если [latex]A[/latex] — сектор, заключенный между прямыми [latex]y = x[/latex] и [latex]y = {-x}[/latex] и расположенный в левой полуплоскости x < 0, поскольку в этом секторе [latex]\left | y \right | < \left | x \right |[/latex] и поэтому:
[latex]\frac{x}{x^2+y^2}< \frac{x}{2x^2} = \frac{1}{2x}[/latex]
Если [latex]A = {(x, y):x = 0, y \in R}[/latex]— ось ординат, то [latex]g(x, y) = 0[/latex] на [latex]A[/latex] и функция [latex]g(x, y)[/latex] является бесконечно малой при [latex](x, y)\underset{A}{\rightarrow} (0, 0)[/latex].

Литература:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *