Определение
Непрерывность функции нескольких переменных:
Пусть точка [latex]A[/latex] принадлежит области определения функции [latex] u=f(M)[/latex] нескольких переменных и любая [latex]\varepsilon[/latex]-окрестность точки [latex]A[/latex] содержит отличные от [latex]A[/latex] точки области определения этой функции.
Функция [latex] u=f(M)[/latex] называется непрерывной на множестве [latex]\left \{ M \right \}[/latex], если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных:
Теорема об устойчивости знака непрерывной функции:
Если функция [latex] u=f(M)[/latex] непрерывна в точке [latex]A[/latex] евклидова пространства [latex] E^m [/latex] и если [latex] f(A)\neq0 [/latex], тo существует такая [latex] \delta [/latex] окрестность точки [latex]A[/latex], в пределах которой во всех точках области своего задания [latex] f(M)[/latex] не обращается в нуль и имеет знак совпадающий со знаком[latex] f(M)[/latex]. Справедливость этой теоремы непосредственно вытекает из определения непрерывности функции в терминах «[latex] \varepsilon — \delta [/latex]».
Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение:
Пусть функция [latex] u=f(M)[/latex] непрерывна во всех точках связного множества [latex]\left \{ M \right \}[/latex] евклидова пространства [latex]E^{m}[/latex], причем [latex] f(A)[/latex] и [latex] f(B)[/latex] — значения этой функции в точках [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] этого множества. Пусть, далее, [latex]C[/latex] — любое число, заключенное между [latex] f(A)[/latex] и [latex] f(B)[/latex] . Тогда на любой непрерывной кривой [latex]L[/latex], соединяющей точки [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] и целиком располагающейся в [latex] \left \{ M \right \} [/latex], найдется точка N такая, что [latex] f(N)=C [/latex].
Пусть
[latex]x_{1}=\varphi_{1}t[/latex], [latex]x_{2}=\varphi_{2}t[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]x_{m}=\varphi_{m}t[/latex], [latex]\alpha \le t \le \beta[/latex],
— уравнения непрерывной кривой [latex]L[/latex], соединяющий точки [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] множества [latex]\left \{ M \right \}[/latex] и целиком располагающейся в [latex]\left \{ M \right \}[/latex].
На сегменте [latex][\alpha, \beta][/latex] определена сложная функция [latex] u=f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m})[/latex], где и [latex]x_{i}=\varphi_{i}t[/latex], [latex]i=1, 2, \ldots, m[/latex], [latex]\alpha \le t \le \beta[/latex]. Очевидно, значение этой функции на сегменте [latex][\alpha, \beta][/latex] совпадают со значениями функции [latex] u=f(M)[/latex] на кривой [latex]L[/latex]. Указанная сложная функция одной переменной [latex]t[/latex], в силу непрерывности сложной функции, непрерывна на сегменте [latex][\alpha, \beta][/latex] и согласно второй теореме Больцано-Коши, в некоторой точке [latex]\xi[/latex] сегмента [latex][\alpha, \beta][/latex] принимает значение [latex]C[/latex]. По этому в точке [latex]N[/latex] кривой [latex]L[/latex] с координатами [latex]\varphi_{1}(\xi)[/latex], [latex]\varphi_{2}(\xi), \ldots,[/latex] [latex]\varphi_{m}(\xi)[/latex] справедливо равенство [latex]f(N)=C[/latex]. Теорема доказана.
[latex]\blacksquare[/latex]
Литература:
- В.А.Ильин, Э.Г. Позняк Основы математического анализа — Москва, «Наука», 1967. (стр.441-462)
- З.М. Лысенко Конспект лекций.
Непрерывная функция
Тест на тему «непрерывные функции»
Таблица лучших: Непрерывная функция
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
Довольно много замечаний.
1. Темы страниц нельзя менять по собственному желанию. Если в программе курса стоит «предел», то так и должно быть. В общей странице «Математический анализ» Вы имеете право добавлять только гиперссылку, но не текст, который я там написал. Править мой текст жуткое преступление.
2. Что иллюстрирует Ваш рисунок. Нет к SVG претензий нет, но что он поясняет?
3. Нельзя расставлять стилевую разметку (например, style). И тем более BR в середине предложения. Разметка должна быть семантической (смысловой). Т.е. выделяете заголовки, определения и т.п. Как они будут отображаться определит CSS сайта.
4. Где примеры?
5. Где тесты?