Нормы в n-мерном пространстве.

Евклидовой нормой или длиной числа $latex x $ называется число:

[latex] \left \| x \right \|= \sqrt{x\cdot x} = \sqrt{(x_1)^2+…+(x_n)^2} [/latex]

 

 Свойства нормы:

  1.  [latex] \left \| x \right \| \geq 0 [/latex] и $latex \left \| x \right \|=0 $ тогда , когда $latex x=0 $
  2.  [latex] \left \| x+y \right \|\leq \left \| x \right \|+\left \| y \right \|[/latex]
  3. [latex] \left \| x y \right \|\leq \left \| x \right \| \left \| y \right \|[/latex]
  4. [latex] \left \| a x \right \|= \left | a \right | \left \| x \right \|[/latex]
  5.  [latex] \left \| x-z \right \|\leq \left \| x-y \right \|+\left \| y-z \right \|[/latex]

В евклидовом пространстве $latex C[a,b] $ всех непрерывных на сегменте $latex a \leq t \leq b $ функций $latex x=x(t) $ со скалярным произведением $latex \int\limits_{a}^{b} x(t)y(t)dt $ норма элемента $latex x=x(t) $ равна $latex \sqrt{\int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt} $ , а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид:

  •   $latex \left [ \int\limits_{a}^{b}x(t)y(t)dt \right ]^{2} \leq \int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt\int\limits_{a}^{b}y^{2}(t)dt $  (неравенство Коши-Буняковского)
  • $latex \sqrt{\int\limits_{a}^{b}\left [ x(t)+y(t) \right ]^{2}dt} \leq \sqrt{\int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt} + \sqrt{\int\limits_{a}^{b}y^{2}(t)dt} $ (неравенство треугольника)

Литература:

  • У.Рудин «Основы математического анализа» 2-е изд. стр. 29-31, 39-41.

Нормы в n-мерном пространстве.: 1 комментарий

  1. 1. Слишком лаконично — одно законченное предложение и все? Это что единственная норма? Даже в заголовке множественное число.
    2. Разделите где какое неравенство в последнем предложении.
    3. Нет меток.
    4. Нет ссылок на термины, определяемые в других разделах сайта.
    5. Нет примеров.
    6. В литературе нет выходных данных и страниц, на которые Вы ссылаетесь.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *