N-мерное пространство и операции в нем

Метрическое пространство

Будем множество X  называть метрическим пространством, если каждой паре элементов x  и y  этого множества поставлено в соответствие неотрицательное число  p(x,y) , называемое расстоянием между элементами x  и y , такое, что для любых элементов x , y z  множества X выполнены следующие условия:

  1. p(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y;
  2. p(x,y) = p(y,x);
  3. p(x,y) \leq p(x,z)+ p(z,y), z \in \mathbb{R}, z = ( z_1, z_2,..., z_n); (неравенство треугольника).

Элементы метрического пространства будем называть точками (векторами), функцию  p(x,y) , определенную на множестве пар точек метрического пространства X ,  p — метрикой, а условия 1)-3) — аксиомами метрики. Например, определяя расстояние между вещественными числами  \alpha   и  \beta при помощи формулы p(\alpha , \beta)= \left | \beta - \alpha \right |   , получаем метрическое пространство, которое обозначается через R . Рассмотрим множество пар вещественных чисел x=(x_{1}+x_{2}) . Если x=(x_{1}+x_{2}) , а y=(y_{1}+y_{2}) , то полагая p(x,y)= \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2} , получаем метрическое пространство, которое обозначается через R^{2} .  

Метрическое пространство R_{n}

Точками пространства R_{n}  являются упорядоченные совокупности из n вещественных чисел x=(x_{1},..,x_{n}) , y=(y_{1},..,y_{n}) , z=(z_{1},..,z_{n}) . Расстояние между точками x и y определяется формулой  p(x,y) = \sqrt{(\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^2)} . Свойства 1) и 2) расстояния, очевидно, выполняются. Сложнее проверить, что справедливо неравенство треугольника (доказано в разделе «неравенство Коши-Буняковского»). Так же, n-мерные (евклидовы) пространства являются топологическими пространствами. Базой их стандартной топологии можно выбрать открытые шары или открытые кубы.

Литература:

N-мерное пространство и операции в нем: 2 комментария

  1. Ошибок много. Они почему-то одинаковые на Ваших страницах и Шпинарева. Это ведь не делал один и тот же человек?
    1. Стилевая разметка типа p style=»text-align: center;», strong абсолютно неприемлема для заголовков тем более. Хотите сделать заголовок, пишите h1, h2 и т.п. А как он будет выглядеть дело темы и стилевой настройки всего сайта, а не одной Вашей страницы.
    2. В литературе нужно указывать страницы, на которые Вы ссылаетесь. Если ссылка идет на бумажную книгу (не гиперссылка), то необходимо еще издательство и год издания.
    3. Где списки? Прочитайте про теги OL, UL.
    4. Точки в заголовках не ставят.
    5. Литература, это не em. Это часть текста, которая является полноценным разделом. Т.е. это слово должно быть заголовком соответствующего уровня. Прочтите, что такое семантическая разметка — выделение роли участка текста, вместо указания как его оформлять.
    6. Почему Вы делаете степень 1/2 вместо привычного знака корня? Это не так страшно, но возникает вопрос — умеете ли Вы кодировать корень?
    7. Ссылок на термины мало — всего одна. И та на Википедию.
    8. Где SVG, тесты и метки? Ладно SVG и тесты могут быть в других Ваших записях. Но метки должны быть везде

  2. Чтобы я не копировал замечания из предыдущего комментария, просмотрите его еще раз. не все исправлено.
    Добавилось:
    1. Ссылки на википедию делаем если материала нет на нашем сайте. Но в любом случае должны быть ссылки на термины внутри сайта.
    2. У.Рудин «Основы математического анализа» — где выходные данные книги и страницы?
    3. доказано в разделе «неравенство Коши-Буняковского» — поставьте ссылку туда, где доказано.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *