Порядок группы

Порядок группы

Пусть \left(G,*\right)группа, если Gконечное множество, то порядком группы называется число элементов G и обозначается \left|G \right| или \mathrm{card} G. Если Gбесконечно, то порядок бесконечен.

Порядок элемента группы

Пусть \left(G,*\right) — произвольная группа и a — некоторый ее элемент. Имеются две возможности:

  1. Все степени элемента a различны, то есть m\neq n \Rightarrow a^{m} \neq a^{n}. В этом случае говорят, что элемент a\in G имеет бесконечный порядок.
  2. Имеются совпадения a^{m}=a^{n} при m\neq n. Если, например, m>n, то a^{m-n}=e, то есть существуют положительные степени элемента a\in G, равные единичному элементу. Пусть q\ - наименьший положительный показатель, для которого a^{q}=e. Тогда говорят, что a — элемент конечного порядка q.

В конечной группе \left(G,*\right) все элементы будут конечного порядка.

Порядок группы с циклическими подгруппами

Пусть \left(G,*\right) — данная группа. Любой ее элемент порождает некоторую циклическую подгруппу. Если \left(G,*\right) — конечная группа, то и все ее циклические подгруппы конечны. Порядок группы \left(G,*\right) делится на порядок ее любой подгруппы, в частности, на порядок любой циклической подгруппы. Этот порядок равен порядку образующего элемента. Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема

Порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента.

Доказательство показать

Примеры:

  1. Пусть \left(G,+ \right) — группа, где G=\left\{1,2,3,4 \right\}. Найти порядок группы.
    Ответ: \left|G \right|=4
  2. Пусть \left(G,* \right) — группа, где G=\mathbb N. Найти порядок группы.
    Ответ: \left|G \right|=\infty

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 247
  3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 142-143

Порядок группы

Тест для проверки знаний по теме «Порядок группы»

Таблица лучших: Порядок группы

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *