Теорема о вычислении площади поверхности вращения, следствия

Если на сегменте [a,b] функции f(x) имеет непрерывную производную f^{'}(x), то поверхность M, образованная вращением графика этой функции вокруг оси Ox, квадрируема и её площадь P может быть вычислена по формулеP=2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx
grafik1
Доказательство. Длина l_{i} звена A_{i-1}A_{i} ломанной A_{0}A_{1}...A_{n} равна \sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{i}-y_{i-1})^{2}}. По формуле Лагранжа имеем y_{i}-y_{i-1}=f(x_{i})-f(x_{i-1})=f^{'}(\xi)(x_{i}-x_{i-1}) . Полагая x_{i}-x_{i-1}=\Delta_{x_{i}} . Поэтому, согласно формуле,
P(x_{i})=2\pi\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\sqrt{1+f^{'2}}\Delta_{x_{i}}+\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i-1}-f(\xi_{i}))\sqrt{1+f^{'2}}\Delta_{x_{i}}+\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i}-f(\xi_{i}))\sqrt{1+f^{'2}}\Delta_{x_{i}}, Обозначим эту формулу (**). Первая сумма в правой части представляет собой интегральную сумму функции 2\pi{f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx}, которая в силу условий утверждения интегрируема и имеет предел P=2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx. Докажем, что выражение в правой части (**) имеет предел, равный нулю. В самом деле, пусть \varepsilon>0. Так как функция f(x) равномерно непрерывны на сегменте [a,b] , то по данному\varepsilon>0 можно указать такое \delta>0, что при \Delta<\delta(\Delta=\max\Delta_{x_{i}}) выполняются неравенства |y_{i-1}-f(\xi_{i})|<\varepsilon и |y_{i}-f(\xi_{i})|<\varepsilon. Если T — максимальное значение функции \sqrt{1+f^{'2}(x)} на сегменте [a,b], то получаем
|\sum\limits_{i=1}^{n}((y_{i-1}-f(\xi_{i}))+(y_{i}-f(\xi_{i})))\sqrt{{1+f^{'2}(\xi_{i})}}\Delta_{x_{i}}|<2T\varepsilon\sum\limits_{i=1}^{n}\Delta_{x_{i}}=2T(b-a)\varepsilon. В силу произвольности \varepsilon >0 предел указанного выражения равен нулю. Итак, мы доказали существование предела P площадей P(x_{i}) и установили, что этот предел может быть вычислен по формуле P=2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx.
Замечание 1.Квадрируемость поверхности вращения можно доказать при более слабых условиях. Достаточно потребовать, чтобы функция f^{'}(x) была определена и интегрируема на сегменте [a,b]. Из этого предположения вытекает интегрируемость функции f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}. Дальнейшее рассуждение ничем не отличается от рассуждений, проведенных при доказательстве утверждений этого пункта.
Замечание 2. Если поверхность M получается посредством вращения вокруг оси Ox кривой L, определяемой параметрическими уравнениями
x=\phi(t), y=\psi(x), \alpha\leq t\leq \beta, то осуществляя замену переменных под знаком определенного интеграла в формуле
P=2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx, получим следующее выражение для площади P этой поверхности P=2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{'2}(t)+\psi^{'2}(t)}dt.
Пример 1.Найдем площадь P поверхности эллипсоида вращения. Пусть эллипс \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 вращается вокруг оси Ox. Рассмотрим сначала случай a>b(вращение вокруг большой оси эллипса). Так как в этом случае f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}, то полагая e=\sqrt{\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}, найдем P=2\pi\int\limits_{-a}^{a}f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx=2\pi\frac{b}{a}\int\limits_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-e^{2}x^{2}}dx=2\pi b(b+\frac{a}{e}\arcsin e). Если a<b, то полагая e=\sqrt{\frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}}} и проводя соответствующие вычисления, получим P=2\pi b(b+\frac{a^{2}}{2b}\ln\frac{1+e}{1-e}).
Пример 2. Найдем площадь P поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox циклоиды, определяемой параметрическими уравнениями x=a(t- \sin t), y=a(1-\cos t), 0\leq t\leq 2\pi. По формуле P=2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{'2}(t)+\psi^{'2}(t)}dt. Имеем P=2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{'2}(t)+\psi^{'2}(t)}dt=2\sqrt{2}\pi a^{2}\int\limits_{0}^{2\pi}(1-\cos t)^{\frac{3}{2}}dt=\frac{64}{3}\pi a^{2}.
Литература

  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Основы математического анализа. Часть 1. 1982 год. Параграф 3, пункт 4. стр 379-380.
  • Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Часть 2, 1964 год, Параграф 2, стр. 214-217.
  • Вычислении площади поверхности вращения

    Вычислении площади поверхности вращения

    Таблица лучших: Вычислении площади поверхности вращения

    максимум из 18 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *