Корни многочлена. Выявление кратных корней многочлена

Теоретическая справка показать

Задача

Является ли число 2 корнем многочлена $f(x)=x^5-5x^4+3x^3+22x^2-44x+24$, и если является — то какой кратности?

Решение

С помощью схемы Горнера определим делится ли $f(x)$ на $(x-2)$. Имеем:

1 -5 3 22 -44 24
2 1 -3 -3 16 -12 0

Остаток при делении $f (x)$ на $(х-2)$ равен 0, а значит мы можем ответить на первый вопрос поставленной задачи: да, число 2 является корнем многочлена $f (x)$. Осталось выяснить, какой кратности этот корень. Продолжим деление многочлена по схеме Горнера:

1 -5 3 22 -44 24
2 1 -3 -3 16 -12 0
2 1 -1 -5 6 0
2 1 1 -3 0
2 1 3 3

Видно, что $f (x)$ делится на $(х-2)^ 3$, т.е. $f (x) = (x-2)^ 3 (x^2+x-3)$, но не делится на $(х-2)^ 4$. А это значит, что 2 — корень третей кратности многочлена $f(x)$.

Теоретическая справка показать

Задача

Найти все значения параметра $m$, при которых многочлен $f(x)=x^4-4m^3x+48$ имеет корень кратности 2.

Решение

$$
\left\{
\begin{array}{l l}
f(x)=x^4-4m^3+48=0, \\
\frac{df}{dx}=4x^3-4m^3=0, \\
\frac{d^2f}{dx^2}=12x^2\ne0.
\end{array}
\right.
$$

$$\left\{
\begin{array}{}
x^4-4m^3+48=0, \\
x=m,\\
x\ne0,
\end{array}
\right.$$

$$\left\{
\begin{array}{}
x^4-4m^3+48=0, \\
m\ne0,
\end{array}
\right.$$

$$\left\{
\begin{array}{}
m=2, \\
m=-2.
\end{array}
\right.
$$
Ответ: $\pm$2.

Литература

  • Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968, с.143-147.

Тест

Необходимо определить при каком условии число является корнем заданной кратности.

Таблица лучших: Кратность корней

максимум из 1 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *