Отношение порядка

Пусть дано множество A\ne\oslash. Бинарное отношение R на множестве A называется отношением частичного порядка тогда и только тогда, когда:

  • R-рефлексивно, т.е. \forall a \in A: aRa.
  • R-антисимметрично \forall a,b \in A: aRb \cap bRa \Rightarrow a=b.
  • R-транзитивно \forall a,b,c \in A: aRb \cap bRc \Rightarrow aRc .

Бинарное отношение R на множестве A называется строгим отношением частичного порядка тогда и только тогда, когда:

  • R-рефлексивно, т.е. \forall a \in A: aRa-не выполняется.
  • R-антисимметрично \forall a,b \in A: aRb \cap bRa \Rightarrow a=b.
  • R-транзитивно \forall a,b,c \in A: aRb \cap bRc \Rightarrow aRc .

Бинарное отношение R на множестве A называется отношением линейного порядка тогда и только тогда, когда:

  • R является отношением частичного порядка.
  • \forall a,b \in A: aRb \oplus bRa.

Бинарное отношение R на множестве A называется отношением полного порядка тогда и только тогда, когда:

  • R является отношением линейного порядка.
  • \forall\, B \in A \;\exists a \in B\; \forall b \in B: aRb.

Пример:

Доказать, что «\le» является отношением частичного порядка:
«\le» \subseteq R^2:

  1. Рефлексивно,т.к. a\le a\; \forall a \in R.
  2. Антисимметрично,т.к. a\le b \cap b\le a \Rightarrow a=b.
  3. Транзитивно,т.к. a\le b \cap b \le c \Rightarrow a\le c.

Из вышеизложенного следует, что «\le» на Rотношение частичного порядка.
Литература:

  • Конспект лекций С.В. Федоровского
  • Отношение частичного порядка
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: Учебник для вузов. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 44-45 c.

Отношение порядка

Тест на тему «Отношение порядка»:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *