Отношение порядка

Пусть дано множество [latex]A\ne\oslash[/latex]. Бинарное отношение [latex]R[/latex] на множестве [latex]A[/latex] называется отношением частичного порядка тогда и только тогда, когда:

  • [latex]R[/latex]-рефлексивно, т.е. [latex]\forall a \in A: aRa[/latex].
  • [latex]R[/latex]-антисимметрично [latex]\forall a,b \in A: aRb \cap bRa \Rightarrow a=b[/latex].
  • [latex]R[/latex]-транзитивно [latex]\forall a,b,c \in A: aRb \cap bRc \Rightarrow aRc [/latex].

Бинарное отношение [latex]R[/latex] на множестве [latex]A[/latex] называется строгим отношением частичного порядка тогда и только тогда, когда:

  • [latex]R[/latex]-рефлексивно, т.е. [latex]\forall a \in A: aRa[/latex]-не выполняется.
  • [latex]R[/latex]-антисимметрично [latex]\forall a,b \in A: aRb \cap bRa \Rightarrow a=b[/latex].
  • [latex]R[/latex]-транзитивно [latex]\forall a,b,c \in A: aRb \cap bRc \Rightarrow aRc [/latex].

Бинарное отношение [latex]R[/latex] на множестве [latex]A[/latex] называется отношением линейного порядка тогда и только тогда, когда:

  • [latex]R[/latex] является отношением частичного порядка.
  • [latex]\forall a,b \in A: aRb \oplus bRa[/latex].

Бинарное отношение [latex]R[/latex] на множестве [latex]A[/latex] называется отношением полного порядка тогда и только тогда, когда:

  • [latex]R[/latex] является отношением линейного порядка.
  • [latex]\forall\, B \in A \;\exists a \in B\; \forall b \in B: aRb[/latex].

Пример:

Доказать, что «[latex]\le[/latex]» является отношением частичного порядка:
«[latex]\le[/latex]» [latex]\subseteq R^2[/latex]:

  1. Рефлексивно,т.к. [latex]a\le a\; \forall a \in R[/latex].
  2. Антисимметрично,т.к.[latex] a\le b \cap b\le a \Rightarrow a=b[/latex].
  3. Транзитивно,т.к.[latex] a\le b \cap b \le c \Rightarrow a\le c[/latex].

Из вышеизложенного следует, что «[latex]\le[/latex]» на [latex]R[/latex]- отношение частичного порядка.
Литература:

  • Конспект лекций С.В. Федоровского
  • Отношение частичного порядка
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: Учебник для вузов. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 44-45 c.

Отношение порядка

Тест на тему «Отношение порядка»:

Отношение порядка: 1 комментарий

  1. Опечатка. Отношение называется строгим отношением частичного порядка, если оно обладает свойством антирефлексивности, а не рефлексивности.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *