Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Любое комплексное число  z=(a,b) можно изобразить как точку на комплексной плоскости с координатами a и b, где ось абсцисс называется вещественной, а ось ординат — мнимой.
Точка на плоскости

Определение 1:

Модулем комплексного числа называется корень суммы квадратов его действительной и мнимой частей. z=a+ib, |z|=\sqrt{a^2+b^2}= \sqrt{(Re\;z)^{2}+(Im\;z)^{2}},
|z|\ge 0,\; |z|= 0 \Leftrightarrow z=0.

Определение 2:

Величина угла, который образует вектор изображающий данное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется аргументом этого комплексного числа (\arg z), z\ne 0.
Угол, отсчитываемый от оси против часовой стрелки — отрицательный, по — положительный.
Углы, отличающиеся на 2\pi k,k \in Z, соответствуют одному и тому же числу и записываются как:
\mathrm{Arg}\;z= \arg z +2\pi k,k \in Z , 0\le \arg z < 2\pi.

Определение 3:

У комплексного числа существует тригонометрическая форма записи z=r(\cos \varphi + i\sin\varphi),  r=|z|.

Примеры:

Найти геометрическое место точек (ГМТ):
  1. |z|\le 1
  2. ex1

  3. |z+1|>1

|z+1|=|x+iy+1|= |(x+1)+iy|= \sqrt{(x+1)^{2}+y{2}}= \sqrt{(x+1)^{2}+(y+0)^{2}}>1
ex2

Формула Муавра:

z^n= r^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)).

Лемма 1:

Для любых двух комлексных чисел z_1,z_2\;\in C справедливо неравенство \left||z_1|-|z_2|\right|\le |z_1\pm z_2| \le |z_1|+|z_2|

Доказательство:

Пусть z_1\ne 0, z_2\ne 0,z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1), z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2).
|z_1+z_2|= |r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)+r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)|= |(r_1\cos\varphi_1+r_2\cos\varphi_2)+i(r_1\sin\varphi_1+r_2\sin\varphi_2)|= \sqrt{r_1\cos\varphi_1+r_2\cos\varphi_2)^{2}+i(r_1\sin\varphi_1+r_2\sin\varphi_2)^{2}}= \sqrt{r_{1}^{2}(\cos^{2}\varphi_1+\sin^{2}\varphi_1)+r_2^{2}(\cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2)+2r_{1}r_{2}(\cos\varphi_1\cos\varphi_2+\sin\varphi_1\sin\varphi_2)}=(*)
\cos^{2}\varphi_1+\sin^{2}\varphi_1 = 1
cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2 = 1
(*)=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_1r_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}\le  \sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_1r_2}= \sqrt{(r_1+r_2)^2}= r_1+r_2=|z_1|+|z_2|.

Литература:

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Тест на тему «Геометрическая интерпретация комплексных чисел»:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *