Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Любое комплексное число [latex] z=(a,b)[/latex] можно изобразить как точку на комплексной плоскости с координатами [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex], где ось абсцисс называется вещественной, а ось ординат — мнимой.
Точка на плоскости

Определение 1:

Модулем комплексного числа называется корень суммы квадратов его действительной и мнимой частей. [latex]z=a+ib[/latex], [latex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}=[/latex] [latex]\sqrt{(Re\;z)^{2}+(Im\;z)^{2}}[/latex],
[latex]|z|\ge 0,\; |z|= [/latex] [latex]0 \Leftrightarrow z=0.[/latex]

Определение 2:

Величина угла, который образует вектор изображающий данное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется аргументом этого комплексного числа [latex](\arg z), z\ne 0.[/latex]
Угол, отсчитываемый от оси против часовой стрелки — отрицательный, по — положительный.
Углы, отличающиеся на [latex]2\pi k,k \in Z[/latex], соответствуют одному и тому же числу и записываются как:
[latex]\mathrm{Arg}\;z=[/latex] [latex]\arg z +2\pi k,k \in Z[/latex] , [latex]0\le \arg z < 2\pi[/latex].

Определение 3:

У комплексного числа существует тригонометрическая форма записи [latex]z=r(\cos \varphi + i\sin\varphi),[/latex] [latex] r=|z|.[/latex]

Примеры:

Найти геометрическое место точек (ГМТ):
  1. [latex]|z|\le 1[/latex]
  2. ex1

  3. [latex]|z+1|>1[/latex]

[latex]|z+1|=|x+iy+1|=[/latex] [latex]|(x+1)+iy|=[/latex] [latex]\sqrt{(x+1)^{2}+y{2}}=[/latex] [latex]\sqrt{(x+1)^{2}+(y+0)^{2}}>1[/latex]
ex2

Формула Муавра:

[latex]z^n=[/latex] [latex]r^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)).[/latex]

Лемма 1:

Для любых двух комлексных чисел [latex]z_1,z_2\;\in C[/latex] справедливо неравенство [latex]\left||z_1|-|z_2|\right|\le |z_1\pm z_2|[/latex] [latex]\le |z_1|+|z_2|[/latex]

Доказательство:

Пусть [latex]z_1\ne 0, z_2\ne 0[/latex],[latex]z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1),[/latex] [latex]z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2).[/latex]
[latex]|z_1+z_2|=[/latex] [latex]|r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)+r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)|=[/latex] [latex]|(r_1\cos\varphi_1+r_2\cos\varphi_2)+i(r_1\sin\varphi_1+r_2\sin\varphi_2)|=[/latex] [latex]\sqrt{r_1\cos\varphi_1+r_2\cos\varphi_2)^{2}+i(r_1\sin\varphi_1+r_2\sin\varphi_2)^{2}}=[/latex] [latex]\sqrt{r_{1}^{2}(\cos^{2}\varphi_1+\sin^{2}\varphi_1)+r_2^{2}(\cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2)+2r_{1}r_{2}(\cos\varphi_1\cos\varphi_2+\sin\varphi_1\sin\varphi_2)}=[/latex](*)
[latex]\cos^{2}\varphi_1+\sin^{2}\varphi_1 = 1[/latex]
[latex]cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2 = 1[/latex]
(*)=[latex]\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_1r_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}\le[/latex] [latex] \sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_1r_2}=[/latex] [latex]\sqrt{(r_1+r_2)^2}=[/latex] [latex]r_1+r_2=|z_1|+|z_2|.[/latex]

Литература:

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Тест на тему «Геометрическая интерпретация комплексных чисел»:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *