Теорема о представлении элементов конечной циклической группы

Определение циклической группы

Пусть дана группа (G, \cdot). Если \exists g_{0}\in G такое, что \forall g\in G, \exists n\in \mathbb Z: g=g_{0}^n, то (G, \cdot) называется циклической группой  и пишут G=<g_{0}>_{n}, где g_{0} образующая и количество элементов, порядок группы, |G|=n. Циклическая группа G называется конечной, если она имеет конечное число элементов, в противном случае группа называется бесконечной.

Теорема
Пусть дана циклическая группа (G, \cdot) и G=<g_{0}>_{n}, тогда эта группа имеет следующий вид: G=\{ g_{0}^0=1, g_{0}, g_{0}^2, g_{0}^3, \dots, g_{0}^{n-1}\}.

Доказательство
Для доказательства покажем что все элементы нашей группы различные, иначе количество элементов в группе будет меньше её порядка.
Пусть \exists i<j такие, что  0\leq i<j \leq{n-1} и  g_{0}^{i} = g_{0}^{j}\Rightarrow g_{0}^{j-i} = 1, тогда \exists m\in \mathbb Z : m=j-i, следовательно 1\leq m\leq{n-1} и g_{0}^m=1. Отсюда \forall g\in G, g=g_{0}^t, t\in \mathbb Z и t=mq+r, 0\leq r<m, тогда g_{0}^t=g_{0}^{mq+r}=(g_{0}^m)^q\cdot g_{0}^r\Rightarrow g_{0}^t =1\cdot g_{0}^r=g_{0}^r, это значит что все элементы группы будут равны g_{0}^r, где \forall t\in \mathbb Z существует свой r,но 0\leq r<m, а 1\leq m\leq{n-1} мы получаем противоречие, поскольку мы не получим всю группу.

Таким образом G=\{ g_{0}^0=1, g_{0}, g_{0}^2, g_{0}^3, \dots, g_{0}^{n-1}\}.

Примеры циклических групп
A=\{1, 2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6\} — Конечная иклическая группа, поскольку каждый элемент является значением 2^k, 0\leq k\leq 6, отсюда образующей этой группы является 2 и A=<2>_{7}.

A=\{1,\frac{1}{2}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^3}, \frac{1}{2^4}, \frac{1}{2^5}, \frac{1}{2^6} \} — Конечная циклическая группа, каждый элемент является значением (\frac{1}{2})^k, 0\leq k\leq 6, образующей является \frac12 и A=<\frac12>_{7}.

Литература

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 с. 24-28.
  2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984 с. 246-248.
  3. Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.

 

Теорема о представлении элементов конечной циклической группы

Тест на тему «Теорема о представлении элементов конечной циклической группы»:

Таблица лучших: Теорема о представлении элементов конечной циклической группы

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *