Общие коммутативный и ассоциативный законы

Теорема (общий ассоциативный закон)

 Формулировка

Пусть на множестве A задана ассоциативная БАО "*". Тогда в «звездном произведении» a_1*a_2*...*a_k, где k\geq 3 результат не зависит от способа расстановки скобок.

Доказательство

Индукция по k:

База: Докажем выполнение теоремы при k=3. Если k=3, то (a_1*a_2)*a_3=a_1*(a_2*a_3).

Предположение: Предположим, что в выражении a_1*a_2*...*a_k  при k \leq n порядок элементов и способ расстановки скобок не влияет на результат вычислений.

Шаг: Докажем для k=n+1:
1\leq l \leq n

\left(a_1*...*a_l \right)*\left(a_{l+1}*...*a_n*a_{n+1} \right)= \left(a_1*...*a_l \right)* [\left(a_{l+1}*...*a_{m} \right)*\left(a_{m+1}*...*a_{n+1} \right)];
a_1*a_2*...*a_l=a,
a_{l+1}*..*a_m=b,
a_{m+1}*..*a_{n+1}=c,
a*\left(b*c \right)=\left(a*b \right)*c, то есть: \left(a_1*...*a_m \right)*\left(a_{m+1}*...*a_{n+1} \right).

Что и требовалось доказать. \blacksquare

Теорема (Общий коммутативный закон)

Формулировка

Пусть на множестве A задана ассоциативная и коммутативная БАО "*", тогда в a_1*a_2*...*a_n, где n \geq2, результат не зависит от расстановки скобок и порядка элементов.

Доказательство

Зафиксируем порядок элементов и рассмотрим выражение: a_{i_{1}} * a_{i_2} * \ldots *a_{i_{n}}.
Согласно Общему ассоциативному закону, результат вычисления данного выражения не зависит от способа расстановки скобок. Положим a_{i_j}=a_n. Исходя из коммутативности операции "*",
a_{i_1} * \ldots * a_{i_{j-1}} *(a_n*a_{i_{j+1}})*a_{i_{j+2}}* \ldots *a_{i_n}= a_{i_1} * \ldots * a_{i_{j-1}} *(a_{i_{j+1}}*a_n)*a_{i_{j+2}}* \ldots *a_{i_n}.
Следовательно, не изменяя результата выражения a_{i_{1}} * a_{i_2} * \ldots *a_{i_{n}}, без ограничения общности рассуждения будем считать, что a_{i_n}=a_n. Следовательно, продолжая упорядочивание элементов, показываем, что результат вычисления любого выражения вида a_{i_{1}} * a_{i_2} * \ldots *a_{i_{n}} равен выражению a_1*a_2*...*a_n. \blacksquare

Таблица лучших: Общие ассоциативный и коммутативный законы

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Общие ассоциативный и коммутативный законы

Тест на знание Общего ассоциативного и Общего коммутативного законов.

Источники:

  1. Г. С. Белозеров.  Конспект лекций по линейной алгебре.
  2. В. В. Воеводин «Линейная алгебра» (Издание второе, переработанное и дополненное, 1980г.), стр. 9-12.
  3. В. В. Воеводин  «Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система Линеал», 2006 г. (стр. 99-102). 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *