Теорема (общий ассоциативный закон)
Формулировка
Пусть на множестве задана ассоциативная БАО
. Тогда в «звездном произведении»
, где
результат не зависит от способа расстановки скобок.
Доказательство
Индукция по k:
База: Докажем выполнение теоремы при . Если
, то
.
Предположение: Предположим, что в выражении при
порядок элементов и способ расстановки скобок не влияет на результат вычислений.
Шаг: Докажем для :
;
,
,
,
, то есть:
.
Что и требовалось доказать.
Теорема (Общий коммутативный закон)
Формулировка
Пусть на множестве задана ассоциативная и коммутативная БАО
, тогда в
, где
, результат не зависит от расстановки скобок и порядка элементов.
Доказательство
Зафиксируем порядок элементов и рассмотрим выражение: .
Согласно Общему ассоциативному закону, результат вычисления данного выражения не зависит от способа расстановки скобок. Положим . Исходя из коммутативности операции
,
.
Следовательно, не изменяя результата выражения без ограничения общности рассуждения будем считать, что
Следовательно, продолжая упорядочивание элементов, показываем, что результат вычисления любого выражения вида
равен выражению
.
Таблица лучших: Общие ассоциативный и коммутативный законы
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
Общие ассоциативный и коммутативный законы
Тест на знание Общего ассоциативного и Общего коммутативного законов.
Источники:
- Г. С. Белозеров. Конспект лекций по линейной алгебре.
- В. В. Воеводин «Линейная алгебра» (Издание второе, переработанное и дополненное, 1980г.), стр. 9-12.
- В. В. Воеводин «Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система Линеал», 2006 г. (стр. 99-102).