Циклические группы и их подгруппы

Определение

Пусть $(G,\cdot )$ — группа. Если в группе $G$ $\exists g_{0}\in G$, такое, что $\forall g\in G\;\exists n\in \mathbb{Z}\;g=g_{0}^{n}$, то группа называется циклической. $G=<g_{0}>$, где $g_{0}$ — образующий элемент группы.

Примеры:

  1. Группа корней n-ой степени из единицы $U_{n}$ является циклической, а произвольный первообразный корень является порождающим элементом.
  2. Группа целых чисел по сложению $(\mathbb{Z},+)$ циклическая. Её образующими элементами являются числа $\pm 1$.

 Лемма

Каждая подгруппа циклической группы сама циклическая.

Доказательство

Пусть $G=<g_{0}>,\;H\subset G,\;G\neq \left \{1 \right \},\;g_{0}^{n}\in H,\;n\in\mathbb{N}$, n — наименьшее. Любой элемент $g\in H$ можно выразить как $g=g_{0}^{m}$. Представим число $m$ в виде $m=nq+r$, где $0\leq r<n$.
Поэтому $g_{0}^{m}=g_{0}^{nq+r}=q_{0}^{nq}\cdot g_{0}^{r}=(g_{0}^{n})^{q}\cdot q_{0}^{r}\Rightarrow g_{0}^{r}=$$=((g_{0}^{n})^{q})^{-1}\cdot g_{0}^{m}\Rightarrow r=0\Rightarrow m\;\vdots\; n$. Следовательно, $g_{0}^{m}=(g_{0}^{n})^{r}\Rightarrow H=<g_{0}^{n}>$, т.е. подгруппа $H$ — циклическая с образующим элементом $g_{0}^{n}$.

 

Литература

Циклические группы и их подгруппы

Тест на тему «Циклические группы и их подгруппы».

Таблица лучших: Циклические группы и их подгруппы

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *