Операции на множествах. Свойства операций

Операции на множествах

1. Объединение

Объединение двух множеств:

Пусть даны два множества A и B , тогда их объединением называется множество A\cup{} B,  содержащее в себе все элементы
исходных множеств:

A\cup B= \left\{ x\,|\,x \in A \vee x \in B \right\}

Объединение более чем двух множеств:

Пусть дано семейство множеств \left\{\,M_\alpha\,\right\},\,\alpha \in A,  тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

\bigcup_{\alpha\in A}^{}{} M_\alpha = \left\{\,x\,|\,\exists \alpha\in A\, x\in M_\alpha \right\}

Пересечение

Пусть даны два множества A и B , тогда их пересечением называется множество A\cap{} B , которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат двум множествам:

A\cap{} B = \left\{ x\,|\,x \in A \wedge x \in B \right\}

3.Разность

Пусть даны два множества A и B , тогда их разностью называется множество A \setminus B , содержащее в себе элементы A , но не  B :

A \setminus B = \left\{\,x\, \in A\,|\,x\,\not\in B \right\}

4.Симметрическая разность

Пусть даны два множества A и B, тогда их симметрической разностью называется множество A \Delta B , куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)

5.Дополнение

Пусть дано множество A, его  дополнением называется семейство элементов, не принадлежащие данному множеству:
\overline A = \left\{\,x\,|\,x \not\in A \right\}

 Свойства операций

Пусть A,  B, C — произвольные множества, тогда:

1. Операция объединение множеств коммутативна:

A \cup B = B \cup A

2. Операция объединение множеств ассоциативна:

(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)

3. Операция пересечение множеств коммутативна:

A \cap B = B \cap A

4. Операция пересечения множеств ассоциативна:

(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)

5. (A \cup B) \cap C = (A \cap B) \cup (B \cap C)

6. (A \cap B) \cup C = (A \cup B) \cap (B \cup C)

7. C \setminus ( A \cap B) = ( C \setminus A) \cup ( C \setminus B)

8.  C \setminus ( A \cup B) = ( C \setminus A) \cap ( C \setminus B)

9. C \setminus B \setminus C = (A \cap B) \cup ( C \setminus B)

10. A \Delta B = ( A \cup B) \setminus ( A \cap B)

11. Симметрическая разность коммутативна:

A \Delta B = B \Delta A

12. Симметрическая разность ассоциативна:

( A \Delta B) \Delta C = A \Delta ( B \Delta C)

Примеры

1. Пусть A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}, B = \left\{ 4, 5, 6, 7 \right\}, тогда

A \cup B = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \right\}.

2. Пусть A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\} , B = \left\{ 3, 4, 5, 6 \right\}, тогда

A \cap B = \left\{ 3, 4 \right\}.

3. Пусть A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}, B = \left\{ 4, 5, 6, 7 \right\}, тогда

A \setminus B = \left\{ 1, 2, 3 \right\}, B \setminus A = \left\{ 5, 6, 7 \right\}.

4.  Пусть A = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\}, B = \left\{ 3, 4, 5, 6, 7 \right\}, тогда

A \Delta B = \left\{ 1, 2, 6, 7 \right\}.

Литература:

Операции на множествах. Свойства операций.

Тестовые вопросы по выше изложенному материалу

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *