Геометрическая интерпретация комплексного числа

Задана плоскость. Зададим на ней декартову систему координат.

геометрическая интерпретация комплексного числа

Данная плоскость называется комплексной. Ось x называется вещественной, а ось y — мнимой. На данном рисунке видно, что геометрически комплексное число представляет из себя вектор. Между алгебраической и геометрической интерпретациями комплексного числа существует биекция z=\left(a,b\right)= a+bi \leftrightarrow M\left(a,b\right)

Определение 1

Модулем комплексного числа z=a+bi называется корень разности квадратов его действительной и мнимой частей.
\left|z\right|= \sqrt{a^{2}+b^{2}}=  \sqrt{\left(\mathrm{Re}\ z\right)^{2}-\left(\mathrm{Im}\ z\right)^{2}}, \left|z\right| \geq 0
\left|z\right| = 0 \Leftrightarrow z=0

Определение 2

Расстояние между двумя векторами на комплексной плоскости вычисляется по формуле:
\left|z_{1}-z_{2}\right|= \left|\left(x_{1}+iy_{1}\right)-\left(x_{2}+iy_{2}\right)\right|=  \sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}

Определение 3

Величина угла, который образует вектор, изображающий данное комплексное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется аргументом этого комплексного числа \left(\mathrm{Arg}\ z\right). Угол, отсчитываемый от оси против часовой стрелки считается положительным, а по часовой — отрицательным.

аргумент

\mathrm{Arg}\ z = \mathrm{arg}\ z + 2\pi k, k\in\mathbb Z, 0\leq \mathrm{arg}\ z < 2\pi[/latex], где [latex]\mathrm{arg}\ z[/latex] - главное значение аргумента комплексного числа.</p> </div> <div> <h3>Пример 1</h3> <p><b>Задание:</b><br /> Изобразите графически [latex]1\leq \left|z+1-2i\right|< 2[/latex] <b>Решение:</b><br /> [latex]1\leq \left|z+1-2i\right|= \sqrt{\left(x+1\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}<2[/latex] Ответ:
пример 1

Пример 2

Задание:
Изобразите графически \frac{\pi}{6}\leq \mathrm{arg}\ z<\frac{\pi}{3}[/latex] Ответ:
пример 2

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.:Физико-математическая литература, 2004, стр. 169-170
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 31-33

Геометрическая интерпретация комплексных чисел (лекции)

Тест на знание темы: «Геометрическая интерпретация комплексных чисел»


Таблица лучших: Геометрическая интерпретация комплексных чисел (лекции)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *