Смешанные задачи на комплексные числа

Для того чтобы приступить к работе над этим пунктом, необходимо иметь понимание о том, что написано в 3 предыдущих пунктах этой темы, а так-же соответствующий теоретический материал.

Здесь представлены некоторые примеры задач в которых нужно преобразовать комплексное число из одной формы в другую для их решения.

Пример 1
Представим число $z=\sqrt{3}+i$ в геометрической и тригонометрической форме.

Вспомним если $a+ib$ и $r(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})$ два представления одного и того-же комплексного числа, то $r=\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos{\alpha}=\frac{a}{r}$ и $\sin{\alpha}=\frac{b}{r}$.

Получаем $r=\sqrt{3+1}=2$ и $\alpha = \frac{\pi}{6}$, то-есть $z_1=2(\cos{\frac{\pi}{6}}+i\sin{\frac{\pi}{6}})$ — тригонометрическая форма комплексного числа.

Зная, что в представлении $z=a+ib$, $Re(z)=a$, $Im(z)=b$, получаем что в комплексной плоскости точка представляющая комплексное число имеет координаты $(a,b)$.

Получаем $Z_2(\sqrt{3},1)$ — геометрическая форма комплексного числа.

Пример 2
Найдем г.м.т. точек $z$, если $z=4(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})$ и $0\leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$.

Имеем $|z|=r=4$, $a=4\cos{\alpha}=Re(z)$, $b=4\sin{\alpha}=Im(z)$, отсюда и из условия получаем $0\leq a \leq 4$, $0\leq b \leq 4, a^2+b^2=16$. Получаем четверть круга радиуса $4$, расположенная в первой четверти декартовых координат. Так-же решение очевидно, если использовать полярную систему координат.

imgc2

Пример 3
Найдем комплексное число $z=\frac{(1-i\sqrt{3})(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})}{(1-i)(\cos{\alpha}-i\sin{\alpha})}$.

Для на чала преобразуем комплексные числа $z_1=1-i\sqrt{3},z_2=1-i$ в тригонометрическую форму. Получим $z_1=2(\cos{\frac{5\pi}{3}}+i\sin{\frac{5\pi}{3}})$ и $x_2=\sqrt{2}(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i\sin{\frac{7\pi}{4}})$.

Подставив найденное в исходное выражение, получим что оно состоит только из комплексных чисел в тригонометрической форме. Решим полученное.
$$\frac{2(\cos{\frac{5\pi}{3}}+i\sin{\frac{5\pi}{3}})(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})}{\sqrt{2}(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i\sin{\frac{7\pi}{4}})(\cos{\alpha}-i\sin{\alpha})}=$$
$$=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\cos{(\alpha+\frac{5\pi}{3})}+i\sin{(\alpha+\frac{5\pi}{3})}}{\cos{(-\alpha+\frac{7\pi}{4})}+i\sin{(-\alpha+\frac{7\pi}{4})}}=$$
$$=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot(\cos {( — \frac{\pi}{12}+2\alpha )}+i\sin {( — \frac{\pi}{12}+2\alpha )})=z$$

В этой задаче удобно привести комплексное число к тригонометрической форме, так как операции с ними выполняются проще.

Литература

Смешанные задачи на комплексные числа.

Тест на тему «Смешанные задачи на комплексные числа».


Таблица лучших: Смешанные задачи на комплексные числа.

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *