Бинарные отношения на произвольных множествах. Примеры

Бинарные отношения на произвольных множествах.

Пусть заданы множества X и Y, тогда бинарным отношением R из множества X в множество  Y называется подмножество декартова произведения X и Y :

R \subset X \times Y .

Напомним свойства отношений:

... показать

Примеры:

1. Пусть A = \left\{1, 2, 7\right\}, B = \left\{3, 9 \right\}.

Задаем отношения:

R_1 = \left\{(1, 9), (2, 3), (2, 9), (7, 3)\right\} \subset A\times B;

R_2 = \left\{(1, 2), (2, 7), (7, 1), (7, 2), (7, 7)\right\}\subset A\times A;

2. Пусть R\subseteq \mathbb{R} , R=\left\{(x, y)\,|\, 2x \geq 3y \right\}, определить его свойства.

Решение:

— Не является рефлексивным, так как, например, (1,1) \not \in R.

— Не является антирефлексивным, так как, например, (-1, -1) \in R.

— Не является симметричным, так как можно привести контрпример: (5, 1) \in R , а (1, 5)\not\in R.

— Не является антисимметричным, так как нельзя подобрать такие (x, y)\in R и (y, x)\in R, что y= x.

— Не является транзитивным, так как можно привести контрпример:

x=-1, y=-2, z=1, тогда 2x\geq 3y, 2y \geq 3z \Rightarrow 2x\geq 3z , но -2 \leq 3.

3. Пусть R \subseteq \mathbb{N}^2,

R=\left\{(x, y)|\, x~\vdots~y = 0 \right\} ,

определить его свойства.

Решение:

— Является рефлексивным, так как x~\vdots~x = 0 .

— Не является антирефлексивным, так как уже рефлексивно.

— Не является симметричным, так как не обязательно, что y~\vdots ~x = 0 , например,

возьмем пару (10, 2) , 10 делится на 2 , но 2 не делится на 10 .

— Является антисимметричным, так как x~\vdots~y= 0 и y~\vdots~ x =0 , когда x= y .

— Является транзитивным, так как ~x\vdots ~y = 0, y~\vdots ~z= 0 \Rightarrow x~\vdots~ z =0 .

Литература:

Бинарные отношения на произвольных множествах

Тестовые вопросы по изложенному материалу

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *