Определение
Функция $f$ определенна на множестве $X\subset R^{n}$ называется равномерно непрерывной на $X,$ если $\forall\varepsilon > 0,$ $\exists\delta = \delta(\varepsilon) > 0,$ что для любых двух точек $x, y \in X,$ удовлетворяющих условию $\rho(x, y) < \delta,$ выполняется неравенство $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$.
Теорема Кантора
Если функция $f$ определенна и непрерывна на компактном множестве, то она равномерно непрерывна на этом множестве.
Пусть функция $f$ определена и непрерывна на компактном множестве $M\subset R^{n}$.
$\forall x_{0} \in M,$ $\forall \varepsilon’ > 0,$ $\exists \delta’ = \delta'(x_{0}, \varepsilon’)>0$
такое, что если $x\in M,$ то$\rho(x_{0}, x)<\delta’,$ то $|f(x_{0})-f(x)|<\varepsilon’$. Выберем произвольное $\varepsilon>0$ и положим $\varepsilon’=\frac{\varepsilon}{2}$. Построим для каждой точки $x_{0}\in M$ окрестность
$U(x_{0}, \frac{\delta’}{2})=$ $U(x_{0}, \frac{\delta'(x_{0}, \varepsilon’)}{2})$
Объединение таких окрестностей покрывает множество $K$. Поскольку $K$ — компактное множества, то из построенного открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие $\left \{U(x_{k}, \frac{\delta’_{k}}{2})\right \}_{k=1}^{m}$ такое, что
$K \subset \underset{k=1}{\overset{m}{\bigcup}}U(x_{k}, \frac{\delta’_{k}}{2})$.
Положим $\delta= min(\frac{\delta’_{1}}{2}, … , \frac{\delta’_{m}}{2})$. Возьмем произвольные точки $x, y \in M,$ для которых $\rho<\delta$. Поскольку $M$ покрывается системой $\left \{U(x_{k}, \frac{\delta’_{k}}{2})\right \}_{k=1}^{m},$ то найдется такой номер $k_{0},$ что $x\in U(x_{k_{0}}, \frac{\delta’_{k_{0}}}{2})$. Тогда $\rho(x_{k_{0}}, x)< \frac{\delta’_{k_{0}}}{2}$ и $\rho(x_{k_{0}}, y) \le$ $\rho(x_{k_{0}}, x) + $ $\rho(x_{k_{0}}, y)<$ $\frac{\delta’_{k_{0}}}{2}+\delta<$ $\delta’_{k_{0}}$. Следовательно
$|f(x)-f(y)|\le$ $|f(x)-f(x_{k_{0}})| + $ $|f(x_{k_{0}})-f(y)|<$ $\varepsilon’+ \varepsilon’ =$ $\varepsilon$
Тест
Тест по теме: «Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора»
Таблица лучших: Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора
Место
Имя
Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Источники
Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального интегрального исчисления т.1 (стр. 370-371)
Г. М. Вартанян. Конспект лекцiй з математичного аналiзу. Одеса 2009 (стр. 11-12).
У вас LaTeX некорректно отображается на все сайте. Исправьте пожалуйста! Пишу сюда, так как не нашел окна поддержки.
Спасибо. Здесь исправил.
К сожалению исправить сразу везде не получается. В некоторых старых работах используют команды, которые после обновления плагинов стали капризничать. Буду исправлять по жалобам читателей и надеяться, что очередное обновление плагина пофиксит проблему.