Подстановки степени n

 Определение:

Любое взаимно однозначное отображение A множества первых n натуральных чисел на себя называется подстановкой n-й степени. Всякая подстановка A может быть записана при помощи двух перестановок, подписанных одна под другой:

\begin{pmatrix}  i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{n}\\  a_{i_{1}} & a_{i_{2}} & \ldots & a_{i_{n}}  \end{pmatrix}
через a_{i} здесь обозначается то число, в которое при подстановке A переходит число i, i = 1,2, \ldots , n.

Замечание:

От одной записи подстановки A к другой можно перейти при помощи транспозиций столбиков. Любая подстановка n-й степени может быть записана в виде:

\begin{pmatrix}  1 & 2 & \ldots & n\\  a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n}  \end{pmatrix}
Т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке. При такой записи различные подстановки различаются друг от друга перестановками, стоящими в нижней строке, и поэтому число перестановок из n чисел равно n! .

Переход к любой другой записи подстановки A можно осуществить, как мы знаем, путём последовательного выполнения нескольких транспозиций в верхней строке и соответствующих им транспозиций в нижней строке. Мы одновременно меняем чётность и поэтому сохраняем совпадение или противоположность этих чётностей.

Отсюда следует, что либо при всех записях подстановки A чётности верхней и нижней строк совпадают, либо же при всех записях они противоположны. В первом случае подстановка A называется чётной, а во втором — нечётной. В частности тождественная подстановка(E) будет чётной:

E =  \begin{pmatrix}  1 & 2 & \ldots & n\\  1 & 2 & \ldots & n  \end{pmatrix} Число чётных подстановок равно числу нечётных, равно {\frac12 n!}

Пример

\begin{pmatrix}  4 & 3 & 5 & 2 &1\\  3 & 5 & 2 & 1 &4  \end{pmatrix} всегда можно представить в виде \begin{pmatrix}  1 & 2 & 3 & 4 &5\\  4 & 1 & 5 & 3 &2  \end{pmatrix}

Подстановки степени n

Тест по теме «Подстановки степени n».

Таблица лучших: Подстановки степени n

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *