Кольцо. Простейшие следствия из аксиом

Кольцо

Пусть R— произвольное множество, R\ne0,  "+",  "\cdot"— бинарные алгебраические операции  на R.
(R,+,\cdot) называется кольцом, если выполнено:

  1. (R,+)— абелева группа (аддитивная группа кольца);
  2. Для любых (R,+,\cdot) \in R выполняется:
    1. a(b + c) = ab + ac;
    2. (b + c)a = ba + ca.

Если операция "\cdot" коммутативна, то кольцо называется коммутативным. В противном случае- некоммутативным.
Операции умножения и сложения в любом кольце обладают некоторыми свойствами.
Операция сложения:
\forall a,b,c \in R

  1. Коммутативна: a + b = b + a;
  2. Ассоциативна: a + (b + c) = (a + b) + c.

Операция умножения:
\forall a,b,c \in R

  1. Коммутативна: ab = ba;
  2. Ассоциативна: a(bc) = (ab)c.

Операции сложения и умножения связаны законом диструбтивности:
(a + b)c = ac + ab.

Примеры:

  1. (Z,+,\cdot)— кольцо целых чисел;
  2. (Q,+,\cdot)— кольцо рациональных чисел;
  3. (R,+,\cdot)— кольцо вещественных чисел;
  4. (Q[\sqrt{2}],+,\cdot), Q[\sqrt{2}] = \{a+b\sqrt{2 } |a,b \in Q\}.

Проверим, будет ли на множестве (Q[\sqrt{2}],+,\cdot) кольцо.
(a + b\sqrt{2}) = (c + d\sqrt{2}) = (a + c) + (b + d)\sqrt{2}\in Q [ \sqrt{2}]
Значит (Q[\sqrt{2}], +, \cdot) является кольцом.

Простейшие следствия из аксиом

  1. \forall a \in R  a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0, a\cdot0 = a(0 + 0) =  a\cdot0 + a\cdot0 |-(a\cdot0) =  a\cdot0 + ( - a\cdot0) =  (a\cdot0 + a\cdot0) + (-a\cdot0) =a\cdot0 + 0 =  a\cdot0 = 0
  2.  

  3. \forall a,b \in R (-a)b = -ab (-a)b + ab = ((-a) + a)b = 0 \cdot b = 0
  4.  

  5. d(a - b) = da - db d(a - b) = d(a + (-b)) = da + d(-b) = da + (-d)b = da - db
  6.  

  7. (a - b)d = ad - bd (a - b)c = (a + (-b))c = ac + (-b)c = ac + (-(bc)) = ac - bc
  8.  

  9. Если имеет единичный элемент 1, то \forall a \in R a \cdot 1 = 1 \cdot a = a.

Кольцо. Простейшие следствия из аксиом

Этот тест составлен для проверки знаний по теме: «Кольцо. Простейшие следствия из аксиом».

Литература:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *