Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

Определение

Пусть G\ne \varnothing, "*"БАО на G. Тогда (G, *) называется группой, если выполняются следующие три аксиомы.

Если, кроме этих трех условий выполняется условие коммутативности \forall a, b \in G~a*b=b*a, то такая группа называется абелевой.

Примеры

  • 1.) (\mathbb Z, +), (\mathbb Q^{*}, +),(\mathbb R, +) — аддитивные группы (по сложению всякое кольцо является абелевой группой).
  • 2.) (\mathbb Q^{*}, \cdot), (\mathbb R^{+}, \cdot),(\mathbb R^{*}, \cdot) — мультипликативные группы(совокупность отличных от нуля элементов любого поля является абелевой группой).
  • 3.)  (\mathbb C_{[-1;1]}, +) — множество непрерывных вещественных функций определенных на [-1;1].
  • 4.) (\mathbb R^{2}, +), (a, b)+(c, d)=(a+c, b+d).
  • 5.) G_{2n}, где n — простое. Возможно по крайней мере 2 группы: Циклическая группа  C_{2n} и диэдр D_{n}
  • grafik1grafik1

Простейшие следствия из аксиом

  • 1. Нейтральный элемент — единственный.

Доказательство. Предположим противное. Пусть \exists e^{'}, так как e^{'} — нейтральный элемент, то e^{'}e=e^{'}, но e тоже нейтральный элемент, а значит e^{'}e=e \Longrightarrow e=e^{'}.

  • 2. \forall a\in G~ \exists! a^{'},a^{'}a=e

Доказательство. Предположим противное. Пусть \exists a^{''},a^{''}a=aa^{''}=e, a^{'}a=aa^{'}=e, a^{'}aa^{''}=(a^{'}a)a^{''}=ea^{''}=a^{''}, a^{'}(aa^{''})=a^{'}e=a^{'} \Longrightarrow a^{'}=a^{''}

  • 3. a*x=b,(x*b=a), решение единственно.

Доказательство.

Единственность.

x_{0} — решение. ax_{0}=b, a^{'}(ax_{0})=a^{'}b, (a^{'}a)x_{0}=a^{'}b, ex_{0}=a^{'}b, x_{0}=a^{'}b

Существование.

x_{0}=a^{'}b, a(a^{'}b)=(aa^{'})b=eb=b

  • 4. (a^{'})^{'}=a, \forall a\in G

Доказательство. По третьей аксиоме a^{'}(a^{'})^{'}=e, a^{'}a=e \Longrightarrow
a^{'}(a^{'})^{'}=a^{'}a\Longrightarrow (a^{'})^{'}=a.

  • 5. (ab)^{'}=b^{'}a^{'}

Доказательство.
(ab)(ab)^{'}=e, aa^{'}=e, bb^{'}=e \Longrightarrow (aa^{'})(bb^{'})=(bb^{'})(aa^{'})=ee \Longrightarrow  (bb^{'})(aa^{'})=e \Longrightarrow (ab)(ab)^{'}=(bb^{'})(aa^{'}) \Longrightarrow (ab)(ab)^{'}=(ab)b^{'}a^{'} \Longrightarrow (ab)^{'}=b^{'}a^{'}

  • 6. \forall n\in \mathbb N a^{n}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}}

Доказательство.

База индукции.

a^{1}=a.

Предположение индукции.

Пусть n=k, a^{k}=\underset{k}{\underbrace{aa..a}}.

Шаг индукции.

Пусть n=k+1, a^{k}a^{1}=a(aa..a), a^{k+1}=\underset{k+1}{\underbrace{aa..a}}.

  • 7. \forall n, m\in \mathbb N, a^{n}a^{m}=a^{n+m}

Доказательство.

a^{m}=\underset{m}{\underbrace{aa..a}}, a^{n}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}}

a^{n}a^{m}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}} \cdot \underset{m}{\underbrace{aa..a}} \Longrightarrow a^{n}a^{m}=\underset{n+m}{\underbrace{aa..a}}, \underset{n+m}{\underbrace{aa..a}}=a^{n+m} \Longrightarrow a^{n+m}=a^{n}a^{m}

 

  • 8. \forall n, m\in \mathbb N, (a^{n})^{m}=a^{nm}

 

Доказательство.

(a^{n})^{m}=\underset{n}{\underbrace{(aa..a)^{m}}} \Longrightarrow (a^{n})^{m}=\underset{n\cdot m}{\underbrace{(aa..a)}} \Longrightarrow (a^{n})^{m}=\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}}\cdot \underset{m}{\underbrace{(aa..a)}}

\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}}=a^{n}, \underset{m}{\underbrace{(aa..a)}}=a^{m} \Longrightarrow (a^{n})^{m}=a^{n}a^{m}

 

  • 9. \forall n\in \mathbb N, (a^{n})^{'}=(a^{'})^{n}

 

Доказательство.

a^{n}(a^{n})^{'}=e, (a^{'})^{n}=\underset{n}{\underbrace{(a^{'}a^{'}..a^{'})}},

\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}} \cdot \underset{n}{\underbrace{(a^{'}a^{'}..a^{'})}}=e \Longrightarrow a^{n}(a^{'})^{n}=e \Longrightarrow a^{n}(a^{'})^{n}=a^{n}(a^{n})^{'} \Longrightarrow (a^{'})^{n}=(a^{n})^{'}.
Литература

 

 

Тесты

Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.


Таблица лучших: Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *