Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме. Сопряженность

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Теоретическая справка показать

Сложение

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
Тогда z= z_1 + z_2 получается простым приведением подобных:
z_1 + z_2= z_1 + z_2= a_1+b_1i+a_2+b_2i= (a_1+a_2)+(b_1+b_2)i

пример показать

Вычитание

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
Тогда z= z_1 - z_2 получается аналогично со сложением:
a_1+b_1i - (a_2+b_2i)= (a_1-a_2)+(b_1-b_2)i

пример показать

Умножение

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
Тогда z= z_1 \times z_2= (a_1+b_1i) \times (a_2+b_2i).
Что делать на этом шаге? Все довольно просто, как Вы наверно и подумали, надо всего лишь раскрыть скобки и привести подобные:
(a_1+b_1i) \times (a_2+b_2i)= (a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i

пример показать

Определение комплексно сопряженного числа

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
z_1 называют комплексно сопряженным к z_2, если a_1 = a_2 и b_1 = -b_2, т.е. z_1=a_1+b_1i и z_2=a_1-b_1i.
И при перемножении z_1 \times z_2= {a_1}^2-{b_1}^2
Это потребуется для нашего следующего действия.

Деление

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
Тогда z= \frac{z_1}{z_2}= \frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}
На этом шаге обычно все и остановилось бы, но мы сможем еще упростить выражение благодаря знанию комплексно сопряженных чисел. Умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное число к знаменателю, получим:
\frac{(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)}= \frac{(a_1a_2+b_1b_2)+(a_2b_1-a_1b_2)i}{{a_2}^2+{b_2}^2}

пример показать

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Теоретическая справка показать

Умножение

Произведением двух комплексных чисел z_1=r_1(cos\phi_1+isin\phi_1) и z_2=r_2(cos\phi_2+isin\phi_2) будет комплексное число вида z=z_1z_2=r_1r_2(\cos(\phi_1+\phi_2)+i\sin(\phi_1+\phi_2)

пример показать

Деление

Частным двух комплексных чисел z_1=r_1(cos\phi_1+isin\phi_1) и z_2=r_2(cos\phi_2+isin\phi_2) будет комплексное число вида z=z_1z_2=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1-\phi_2)+i\sin(\phi_1-\phi_2)

Возведение в степень

\forall z \in C z^n= {r(\cos\phi+i\sin\phi)}^n= r^n(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))

пример показать

Извлечение корня

\forall z \in C \sqrt[n]{z}= \sqrt[n]{r(\cos\phi+i\sin\phi)}= \sqrt[n]{r}(\cos\frac{\phi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\phi+2\pi k}{n}), k=\overline{0,n-1}

пример показать

Тест поможет Вам проверить, как Вы усвоили материал

Литература

  1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968,cтр 115-123
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, стр 194-210

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *