Нахождение ортогонального дополнения к подпространству евклидова пространства

Теоретическая справка

Определение:
Пусть A \subset E, A\ne 0. Тогда ортогональным дополнением к множеству A называется множество:
A^\perp = \{x\in {E} | \forall a\in A: (x,a) = 0\}.
Britkariu_Praktika
Свойства ортогонального дополнения:

  1. \{0\}^\perp = {E};
  2. {E}^\perp = \{0\};
  3. ({L}^\perp)^\perp = {L}, \forall{L}\subseteq{E};
  4. ({L}_1 + {L}_2)^\perp = {L}_{1}^{\perp}\cap{L}_{2}^{\perp}, \forall{L}_{1},{L}_{2}\subseteq{E};
  5. ({L}_1\cap{L}_2)^\perp = {L}_{1}^{\perp} + {L}_{2}^{\perp}.

Пример

Найти базис ортогонального дополнения {L}^{\perp} подпространства {L}, натянутого на векторы a_{1}, a_{2}, a_{3}.
a_1 = (1,0,2,1)
a_2 = (2,1,2,3)
a_3 = (0,1,-2,1)
Найдем ранг матрицы L:
L = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{pmatrix}
Домножим первую строчку матрицы на -2 и прибавим ко второй. Получим:
L = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{pmatrix}
Вторая и третья строки матрицы совпадают, а значит одну можно исключить. Получим, что ранг системы L равен 2. Следовательно, системы L— линейно зависимая.
L<a> (система состоит из двух векторов).
{L}^{\perp} = \{b_1,b_2\}
(a_1,x) = 0, (a_2,x) = 0
Составим матрицу из векторов a_1, a_2.
\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\2 & 1 & 2 & 3 \\\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{pmatrix}
(домножим первую строчку матрицы на -2 и прибавим ко второй)
\left\{\begin{matrix} x_1 + 2x_3 + x_4& = &0 \\ x_2 - 2x_3 + x_4& = &0 \end{matrix}\right.
Найдем общее решение системы:
\left\{\begin{matrix} x_1& = &-2x_3 - x_4 \\ x_3& = &\frac{x_2 + x_4}{2} \end{matrix}\right.
x = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 2x_3 - x_4 \\ x_2 \\ \frac{x_2 + x_4}{2}\\ x_4 \\\end{pmatrix}
Найдем ФСР (фундаментальную систему решений) по формуле:
ФСР  = n - r , где n— число неизвестных переменных, r— ранг матрицы.
ФСР: 4 - 2 = 2.
Получили два линейно независимых решения системы. Придадим переменным x_3, x_4 произвольные значения:

ФСР x_1 x_2 x_3 x_4
b_1 2 -2 -1 0
b_2 1 1 0 -1

Получили ортогональное дополнение {L}^{\perp} = <b_1, b_2> = <(2,-2,-1,0), (1,1,0,-1)>.

Нахождение ортогонального дополнения к подпространству евклидова пространства

Тест составлен для проверки знаний по теме «Нахождение ортогонального дополнения к подпространству евклидова пространства»

Литература:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *