Обращение матриц

Обращение матриц

Первый способ нахождения обратной матрицы. Пусть дана матрица A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7  \end{pmatrix}. Обратную матрицу можно вычислить по формуле A^{-1}=(\det A)^{-1} \cdot A^{T}, где A^{T} — транспонированная матрица алгебраических дополнений. Найдем определитель этой матрицы по правилу треугольника. \det A=0 \cdot 3 \cdot 7+1 \cdot 5 \cdot 3+2 \cdot 5 \cdot 3-3 \cdot 3 \cdot 3-5 \cdot 5 \cdot 0-2 \cdot 1 \cdot 7=4. Если бы определитель был равен нулю, то обратная матрица не существует. Дальше найдем алгебраическое дополнение матрицы. Чтобы найти алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы, нужно вычеркнуть строку и столбец содержащий этот элемент, найти определитель минора каждого элемента и умножить на -1 в степени суммы номера строки и столбца в которых располагается элемент.
A_{11}=(-1)^{1+1} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 7 \\ \end{pmatrix}=-4
A_{12}=(-1)^{1+2} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \\ \end{pmatrix}=1
A_{13}=(-1)^{1+3} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=1
A_{21}=(-1)^{2+1} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \\ \end{pmatrix}=8
A_{22}=(-1)^{2+2} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end{pmatrix}=-9
A_{23}=(-1)^{2+3} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=3
A_{31}=(-1)^{3+1} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=-4
A_{32}=(-1)^{3+2} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{pmatrix}=6
A_{33}=(-1)^{3+3} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}=-2
Матрица алгебраических дополнений A = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 8 & -9 & 3 \\ -4 & 6 & -2  \end{pmatrix}. Транспонируем Матрицу алгебраических дополнений, A^{T} = \begin{pmatrix} -4 & 8 & -4 \\ 1 & -9 & 6 \\ 1 & -3 & -2  \end{pmatrix}. Теперь найдем обратную матрицу A^{-1}=\frac{1}{4} \begin{pmatrix} -4 & 8 & -4 \\ 1 & -9 & 6 \\ 1 & -3 & -2  \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & -3/4  &  -1/2 \end{pmatrix}. Если обратная матрица найдена правильно, то при умножение обратной матрицы на исходную получим матрицу, у которой на главной диагонали единицы, а все остальные элементы равны нулю. \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & -3/4  &  -1/2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Так как получили единичную матрицу, то обратная матрица найдена верно.
Второй способ нахождения обратной матрицы. Запишем рядом с исходной матрицей единичную \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Любую матрицу можно привести к единичной, это мы и сделаем с нашей матрицей A, выполняя действия по привидению матрицы A к единичному виду, будем выполнять такие же с единичной матрицей.
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Умножим вторую строку на -1 и прибавим к третьей.
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 2  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}
Поменяем первую и третью строки местами.
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 3  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1  \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Первую строку умножим на -2 и прибавим ко второй.
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1  \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Вторую строку прибавим к третьей.
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 4  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1  \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}
Поделим третью строку на четыре.
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1  \\ 0 & 3 & -2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}
Умножим вторую строку на -2 и прибавим к первой.
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -7 & 5  \\ 0 & 3 & -2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}
Умножим третью строку на -1 и прибавим ко второй.
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -7 & 5  \\ -1/4 & 9/4 & -3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}
Умножим вторую строку на -1.
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -7 & 5  \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}
Вторую строку умножим на -4 и прибавим к первой.
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1  \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}
Полученная матрица является обратной.
Литература

  • 1. Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии
  • 2. Линейная алгебра. Воеводин. В. В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 год, стр. 211-213.
  • Сборник задач по линейной алгебре. Проскуряков. И. В. М. 1961 год, стр. 116, 125.
  • Обращение матриц

    Обращение матриц

    Таблица лучших: Обращение матриц

    максимум из 2 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *