Подгруппы. Критерий подгруппы

Определение

Подмножество $H$ группы $G$ называется подгруппой этой группы (обозначают $H \le G$ ), если оно само является группой относительно сужения операции, определенной в группе $G$ .

Теорема (Критерий подгруппы)

Непустое подмножество $H$ группы $G$ будет подгруппой тогда и только тогда, когда $h_{1}h_{2}\in H$ и $h_{1}^{-1}\in H$ для всех $h_{1},h_{2} \in H$

Обозначается

$<G, \ast>$ — группа.

$H \subseteq G$

$H \le G \Leftrightarrow$ $(\forall h_{1}, h_{2}\in H)[h_{1}\ast h_{2}^{-1}\in H]$

Доказательство	^C показать
Пусть $H$ — подгруппа группы $G$ , т. е. $H$ — группа относительно сужения операции, определенной в группе $G$ . Определена алгебраическая операция в $H$ , поэтому $h_{1}h_{2}\in H$ для всех $h_{1},h_{2}\in H$ . Проверим что единица $e_{1}$ подгруппы $H$ совпадает с единицей $e$ группы $G$ . Ясно, что $e_{1}e=$ $ee_{1}=$ $e_{1}$ , т. к. $e_{1}$ — элемент из $G$ . В группе $G$ для $e_{1}$ имеется обратный элемент $e_{1}^{-1}$ , то есть $e_{1}^{-1}e_{1}=$ $e_{1}e_{1}^{-1}=$ $e$ . Так как $e_{1}$ — единица в $H$ , то $e_{1}e_{1}=e$ . Умножив обе части последнего равенства на $e_{1}^{-1}$ , получим: $e_{1}^{-1}e_{1}e_{1}=$ $e_{1}^{-1}e_{1}$ или $ee_{1}=e$ , поэтому $e_{1}=e$ . Таким образом, единицы подгруппы $H$ и группы $G$ совпадают. Так как $H$ подгруппа, то для каждого $h\in H$ существует в подгруппе $H$ обратный элемент $h^{-1}$ , то есть такой элемент, что $h^{-1}h=$ $hh^{-1}=$ $e_{1}=$ $e$ . Это означает, что $h^{-1}$ является обратным элементом в группе $G$ для элемента $h\in H$ . Обратно, пусть $h_{1}h_{2}$ и $h_{1}^{-1}\in H$ для всех $h_{1}, h_{2}\in H$ . Тогда алгебраическая операция определенна на $H$ . Она ассоциативна в $H$ , так как ассоциативность справедлива для всех элементов из $G$ . Элемент $h^{-1}$ обратный $h \in H$ также принадлежит $H$ , поэтому $h^{-1}h \in H$ и $hh^{-1}$ . Поскольку $h^{-1}h=$ $e=$ $hh^{-1}$ , то $e \in H$ и $H$ — группа.

Доказательство

показать

Пример	^C показать
$<\mathbb{Z}, +>$ — группа, $3\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}$ , $3\mathbb{Z} \overset{?}{\le} \mathbb{Z}$ , $a,b \in 3\mathbb{Z} \Rightarrow$ $a=3m_{1} \wedge b=3m_{2}$ , $-b=-(3m_{2})$ , $a+(-b)=$ $3m_{1}+(-3m_{2})=$ $3m_{1}-3m_{2}=$ $3(m_{1}-m_{2})=$ $3m_{3}\in 3\mathbb{Z}$ , $3\mathbb{Z} \le \mathbb{Z}$