Таблица Кэли

Пусть \mathbb A_{n}=\left \{ a_{1},a_{2},...,a_{n}\right \}конечное множество из n элементов, с заданной на нем бинарной алгебраической операцией * так, что каждой паре элементов из этого множества будет поставлен в соответствие элемент из того же множества.
Тогда таблица Кэли (была введена А.Кэли в 1854) будет выглядеть следующим образом:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \rule {0cm}{0.8cm} {\large \;\;\;*\;\;\;} & \large {\textit a_{1}} & \large {\textit a_{2}} & {\large \ldots} & \large {\textit a_{n}} \\ [0.4cm] \hline \rule{0cm}{0.8cm} \large {\textit a_{1}} & a_{1}*a_{1} & a_{1}*a_{2} & \ldots & a_{1}*a_{n} \\ [0.4cm] \hline \rule{0cm}{0.8cm} \large {\textit a_{2}} & a_{2}*a_{1} & a_{2}*a_{2} & \ldots & a_{2}*a_{n} \\ [0.4cm] \hline \rule{ 0cm}{0.8cm} \large {\textit \vdots} & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ [0.4cm] \hline \rule{0cm}{0.8cm} \large {\textit a_{n}} & a_{n}*a_{1} & a_{n}*a_{2} & \ldots & a_{n}*a_{n} \\ [0.4cm] \hline \end{array}

Таблица Кэли позволяет определить свойства операции:

Замечание. Также существует метод проверки ассоциативности БАО по таблице Кэли, но так как он очень громоздкий приводить мы его не будем.

Пример 1

Дано множество \mathbb A=\left \{1,2,3,4,5,6,7,8 \right \}. На этом множестве задана операция * такая, что  \forall \,  a,b \in \mathbb A, a*b=\max(a,b). Построить таблицу Кэли и определить свойства операции:

Решение показать

Пример 2

Дано множество преобразований правильного треугольника \mathbb B=\left \{\varphi _{0},\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},\varphi _{4},\varphi _{5} \right \}, переводящих треугольник в самого себя.
\varphi _{0},\varphi _{1},\varphi _{2} — повороты треугольника против часовой стрелки соответственно на углы 0, \frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3} вокруг точки O.
\varphi _{3},\varphi _{4},\varphi _{5} — симметрия относительно осей m, l, p
simtriangle
Построить таблицу Кэли и показать, что \left (\mathbb B,\circ \right )группа:

Решение показать

Литература:

  1. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., Наука, 1977 г, с.166, 167
  3. Курош А.Г. Теория групп. М., Наука, Физматлит, 1967 г, с.113

Тест


Таблица лучших: Таблица Кэли

максимум из 19 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *