Подгруппы. Критерий подгруппы

Определение

Подмножество [latex]H[/latex] группы [latex]G[/latex] называется подгруппой этой группы (обозначают [latex]H \le G[/latex]), если оно само является группой относительно сужения операции, определенной в группе [latex]G[/latex].

Теорема (Критерий подгруппы)

Непустое подмножество [latex]H[/latex] группы [latex]G[/latex] будет подгруппой тогда и только тогда, когда [latex]h_{1}h_{2}\in H[/latex] и [latex]h_{1}^{-1}\in H[/latex] для всех [latex]h_{1},h_{2} \in H[/latex]

Обозначается

[latex]<G, \ast>[/latex] — группа.

[latex]H \subseteq G[/latex]

[latex]H \le G \Leftrightarrow[/latex] [latex](\forall h_{1}, h_{2}\in H)[h_{1}\ast h_{2}^{-1}\in H][/latex]

Спойлер

Пусть [latex]H[/latex] — подгруппа группы [latex]G[/latex], т. е. [latex]H[/latex] — группа  относительно сужения операции, определенной в группе [latex]G[/latex]. Определена алгебраическая операция в [latex]H[/latex], поэтому [latex]h_{1}h_{2}\in H[/latex] для всех [latex]h_{1},h_{2}\in H[/latex].

Проверим что единица [latex]e_{1}[/latex] подгруппы [latex]H[/latex] совпадает с единицей [latex]e[/latex] группы [latex]G[/latex]. Ясно, что [latex]e_{1}e=[/latex] [latex]ee_{1}=[/latex] [latex]e_{1}[/latex], т. к. [latex]e_{1}[/latex] — элемент из [latex]G[/latex].  В группе [latex]G[/latex] для [latex]e_{1}[/latex] имеется обратный элемент [latex]e_{1}^{-1}[/latex], то есть [latex]e_{1}^{-1}e_{1}=[/latex] [latex]e_{1}e_{1}^{-1}=[/latex] [latex]e[/latex]. Так как [latex]e_{1}[/latex] — единица в [latex]H[/latex], то [latex]e_{1}e_{1}=e [/latex]. Умножив обе части последнего равенства  на [latex]e_{1}^{-1}[/latex], получим: [latex]e_{1}^{-1}e_{1}e_{1}=[/latex] [latex]e_{1}^{-1}e_{1}[/latex] или [latex]ee_{1}=e[/latex], поэтому [latex]e_{1}=e[/latex]. Таким образом, единицы подгруппы [latex]H[/latex] и группы [latex]G[/latex] совпадают.

Так как [latex]H[/latex] подгруппа, то для каждого [latex]h\in H[/latex] существует в подгруппе [latex]H[/latex] обратный элемент [latex]h^{-1}[/latex], то есть такой элемент, что [latex]h^{-1}h=[/latex] [latex]hh^{-1}=[/latex] [latex]e_{1}=[/latex] [latex]e[/latex]. Это означает, что [latex]h^{-1}[/latex] является обратным элементом в группе [latex]G[/latex] для элемента [latex]h\in H[/latex].

Обратно, пусть [latex]h_{1}h_{2}[/latex] и [latex]h_{1}^{-1}\in H[/latex] для всех [latex]h_{1}, h_{2}\in H[/latex]. Тогда алгебраическая операция определенна на [latex]H[/latex]. Она ассоциативна в [latex]H[/latex], так как ассоциативность справедлива для всех элементов из [latex]G[/latex]. Элемент [latex]h^{-1}[/latex] обратный [latex]h \in H[/latex] также принадлежит [latex]H[/latex], поэтому [latex]h^{-1}h \in H[/latex] и [latex]hh^{-1}[/latex]. Поскольку [latex]h^{-1}h=[/latex] [latex]e=[/latex] [latex]hh^{-1}[/latex], то [latex]e \in H[/latex] и [latex]H[/latex] — группа.

[свернуть]

 

Спойлер

[latex]<\mathbb{Z}, +>[/latex] — группа,

[latex]3\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}[/latex],

Z

[latex]3\mathbb{Z} \overset{?}{\le} \mathbb{Z}[/latex],

[latex] a,b \in 3\mathbb{Z} \Rightarrow[/latex] [latex]a=3m_{1} \wedge b=3m_{2}[/latex],

[latex]-b=-(3m_{2})[/latex],

[latex]a+(-b)=[/latex] [latex]3m_{1}+(-3m_{2})=[/latex] [latex]3m_{1}-3m_{2}=[/latex] [latex] 3(m_{1}-m_{2})=[/latex] [latex]3m_{3}\in 3\mathbb{Z}[/latex],

[latex]3\mathbb{Z} \le \mathbb{Z}[/latex]

[свернуть]

Тест

Подгруппы. Критерий подгруппы.

Таблица лучших: Подгруппа

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источник

Г. С. Белозеров. Конспект лекций по линейной алгебре.

В. С. Монахов. Учебное пособие «Введение в теорию конечных групп и их классов». Гомель 2003 (стр. 20-21)

А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. Издание десятое. Стереотипное. Москва «Наука» 1971. (стр. 398-399)

И. В. Проскуряков.  Сборник задач по линейной алгебре. Издание шестое. Стереотипное. Москва «Наука», 1984. (стр. 218-220)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *