РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения бывают трех типов.

  • 1. A \cdot X=B
  • 2. X \cdot A=B
  • 3. C \cdot X \cdot A=B
  • Пример 1. Чтобы решить уравнение первого типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице A слева.
    \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot X= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}, \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-2
    A_{11}=(-1)^{1+1} \cdot 4=4
    A_{12}=(-1)^{1+2} \cdot 3=-3
    A_{21}=(-1)^{2+1} \cdot 2=-2
    A_{22}=(-1)^{2+2} \cdot 1=1
    \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end{pmatrix}, полученную матрицу транспонируем и умножим на \det^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-1/2. Обратная матрица к \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} равна \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix}.
    X=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}, X= \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}. Сделаем проверку \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}. Уравнение решили правильно.
    Пример 2. Чтобы решить уравнение второго типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице A справа.
    X \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix}. Матрица обратная к \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix} равна \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix}. X=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix}, X=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}.
    Пример 3. Чтобы решить уравнение третьего типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице A справа и на обратную матрице C слева.
    \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}. Обратная матрица к \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} равна \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix}, обратная матрица к \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix} равна \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}. X=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}.
    Проверка \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}.
    Пример 4. Случай когда обратная матрица не существует.
    X \cdot \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 8 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}.
    Матрицу X запишем как \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} & 6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} \\ 3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} & 6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4} \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}.

    \begin{cases}
    3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\
    6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} = 4\\
    3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9\\
    6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4}=18
    \end{cases}
    Эта система эквивалентна
    \begin{cases}
    3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\
    3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9
    \end{cases}
    Решив данную систему получим общей вид решения X=\begin{pmatrix} x_{1} & (2-3x_{1})/4 \\ x_{3} & (9-4x_{1})/3 \\ \end{pmatrix}
    Литература

  • 1. Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии
  • 2. Линейная алгебра. Воеводин. В. В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 год, стр. 211-213.
  • Сборник задач по линейной алгебре. Проскуряков. И. В. М. 1961 год, стр. 118-119.
  • Решение матричных уравнений

    Обращение матриц. Решение матричных уравнений

    Таблица лучших: Решение матричных уравнений

    максимум из 2 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *