РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения бывают трех типов.

  • 1. [latex]A \cdot X=B[/latex]
  • 2. [latex]X \cdot A=B[/latex]
  • 3. [latex]C \cdot X \cdot A=B[/latex]
  • Пример 1. Чтобы решить уравнение первого типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице [latex]A[/latex] слева.
    [latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot X=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}[/latex], [latex]\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-2[/latex]
    [latex]A_{11}=(-1)^{1+1} \cdot 4=4[/latex]
    [latex]A_{12}=(-1)^{1+2} \cdot 3=-3[/latex]
    [latex]A_{21}=(-1)^{2+1} \cdot 2=-2[/latex]
    [latex]A_{22}=(-1)^{2+2} \cdot 1=1[/latex]
    [latex]\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end{pmatrix}[/latex], полученную матрицу транспонируем и умножим на [latex]\det^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-1/2[/latex]. Обратная матрица к [latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}[/latex] равна [latex]\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix}[/latex].
    [latex]X=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix} \cdot [/latex] [latex] \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}[/latex], [latex]X= \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}[/latex]. Сделаем проверку [latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}=[/latex][latex]\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}[/latex]. Уравнение решили правильно.
    Пример 2. Чтобы решить уравнение второго типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице [latex]A[/latex] справа.
    [latex]X \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix}.[/latex] Матрица обратная к [latex]\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}[/latex] равна [latex]\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix}.[/latex] [latex]X=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix},[/latex] [latex]X=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}[/latex].
    Пример 3. Чтобы решить уравнение третьего типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице [latex]A[/latex] справа и на обратную матрице [latex]C[/latex] слева.
    [latex]\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}[/latex]. Обратная матрица к [latex]\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix}[/latex] равна [latex]\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix},[/latex] обратная матрица к [latex]\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}[/latex] равна [latex]\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}[/latex]. [latex]X=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix} \cdot [/latex][latex] \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}[/latex].
    Проверка [latex]\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}[/latex].
    Пример 4. Случай когда обратная матрица не существует.
    [latex]X \cdot \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 8 \\ \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}[/latex].
    Матрицу [latex]X[/latex] запишем как [latex]\begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \\ \end{pmatrix}[/latex], [latex]\begin{pmatrix} 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} & 6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} \\ 3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} & 6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4} \\ \end{pmatrix}=[/latex][latex]\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}[/latex].

    \begin{cases}
    3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\
    6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} = 4\\
    3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9\\
    6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4}=18
    \end{cases}
    Эта система эквивалентна
    \begin{cases}
    3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\
    3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9
    \end{cases}
    Решив данную систему получим общей вид решения [latex]X=\begin{pmatrix} x_{1} & (2-3x_{1})/4 \\ x_{3} & (9-4x_{1})/3 \\ \end{pmatrix}[/latex]
    Литература

  • 1. Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии
  • 2. Линейная алгебра. Воеводин. В. В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 год, стр. 211-213.
  • Сборник задач по линейной алгебре. Проскуряков. И. В. М. 1961 год, стр. 118-119.
  • Решение матричных уравнений

    Обращение матриц. Решение матричных уравнений

    Таблица лучших: Решение матричных уравнений

    максимум из 2 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *