Вычисление объема тела вращения.

Вычисление объема тела вращения

Пусть [latex]M[/latex] — некоторая плоская фигура. Тело вращения мы можем получить 2 способами:

  • вращением [latex]M[/latex] вокруг оси абсцисс([latex]OX[/latex]);
  • вращением [latex]M[/latex] вокруг оси ординат ([latex]OY[/latex]).

Примеры

Пример 1

Пусть [latex]M[/latex] — тело вращения полученная вращением фигуры [latex]T[/latex], образованной линиями [latex]y=x^2-4x+2[/latex] и [latex]y=0[/latex], вокруг оси [latex]OX[/latex].
Первым делом начертим график:
svg1113
Искомая фигура [latex]T[/latex] на графике заштрихована.
Отрезок на котором задана фигура равен [latex](2-\sqrt{2};2-\sqrt{2})[/latex]
Объем тела вращения равен:,
[latex]V=\pi\int\limits_{2-\sqrt{2}}^{2+\sqrt{2}} {(x^2-4x+2)}^2 dx=[/latex] [latex]\pi\int\limits_{2-\sqrt{2}}^{2+\sqrt{2}} (x^4-8x^3+20x^2-16x+4) dx=[/latex] [latex]\pi (\frac{x^5}{5}-2x^4+\frac{20x^3}{3}-8x^2+4x){|}_{2-\sqrt{2}}^{2+\sqrt{2}}=[/latex] [latex]\frac{64\sqrt{2}\pi}{15}[/latex]

Пример 2

Пусть [latex]M[/latex] — тело вращения полученная вращением фигуры [latex]T[/latex], образованной линиями [latex]y=x^2-4x+2[/latex] и [latex]y=0[/latex], вокруг оси [latex]OX[/latex].
Hачертим график:

Вычисление объема тела вращения.: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *