Измерения в евклидовом пространстве

1. Определить скалярное произведение векторов X, Y

X=(2, 1, -1, 2), Y=(3, -1, -2, 1).

Нам известна теорема о том, что если два вектора a,b заданы своими декартовыми прямоугольными координатами, то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений соответствующих координат.
Воспользуемся ей. Получим:

(X,Y)=2\cdot 3 + 1\cdot (-1) + (-1)\cdot (-2) + 2\cdot 1 =9

Ответ: 9.

2. Нормировать вектор X=(1,3,0,-2)

Для того, чтобы нормировать вектор нам необходимо найти его модуль, и каждую координату разделить на него.

|X|= \sqrt{1^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}

X' = (\frac{1}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}},0,-\frac{2}{\sqrt{13}})

Ответ: X' = (\frac{1}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}},0,-\frac{2}{\sqrt{13}}).

3. Определить угол между векторами X, Y

X= (1, 2, 2, 3), Y= (3, 1, 5, 1).

Нам известно, что по определению скалярного произведения (a,b)= |a|\cdot |b| \cos\angle (a,b)\Rightarrow \cos\angle (a,b)= \frac{(a,b)}{|a|\cdot |b|}

Воспользовавшись тем, что |a|=\sqrt{x_{1}^2+x_{2}^2+...+x_{n}^2}, а также предыдущей формулой и метод нахождения скалярного произведения из первой задачи, получаем:

\cos\angle (X,Y)= \frac{1\cdot 3 +2\cdot 1 + 2\cdot 5 + 3\cdot 1}{\sqrt{1^2+2^2+2^2+3^2}\cdot \sqrt{3^2+1^2+5^2+1^2}}

\cos\angle (X,Y)= \frac{18}{\sqrt{18}\cdot \sqrt{36}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Ответ: угол между векторами X,Y равен 45^\circ.

4.Определить косинусы внутренних углов треугольника ABC, заданного координатами  вершин:

A=(1,2,1,2)B=(3,1,-1,0)C=(1,1,0,1)

Для того, что найти соответствующие углы необходимо найти координаты векторов, являющихся сторонами данных углов.
Найдем их.

AB= (3-1,1-2,-1-1,0-2)= (2,-1,-2,-2)

|AB|= \sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2+(-2)^2}= \sqrt{13}

CB= (3-1,1-1,-1-0,0-1)= (2,0,-1,-1)

|CB|= \sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}= \sqrt{6}

AC= (1-1,1-2,0-1,1-2)= (0,-1,-1,-1)

|AC|= \sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2}= \sqrt{3}

Воспользовавшись методом решения третей  задачи, найдем косинусы углов A, B, C.

\cos\angle A= \frac{(-1)\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+(-1)\cdot (-2)}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{13}}= \frac{5}{\sqrt{39}}

\cos\angle B= \frac{2\cdot 2+(-2)\cdot (-1)+(-2)\cdot (-1)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{6}}= \frac{8}{\sqrt{78}}

\cos\angle C= \frac{1\cdot (-1) + 1\cdot (-1)}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}= -\frac{\sqrt{2}}{3}

Ответ: \cos\angle A= \frac{5}{\sqrt{39}}, \cos\angle B= \frac{8}{\sqrt{78}},  \cos\angle C= -\frac{\sqrt{2}}{3}.

Литература:

Тест



 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *