Критерии первообразности

Критерии первообразности

 U_n — циклическая группа корней  n-й степени из единицы. Образующий элемент группы  U_n называется первообразным корнем  n-й степени из единицы.

Теорема 1 (Первый критерий первообразности)

Корень  n-й степени из единицы будет первообразным корнем  n-й степени из единицы  \Leftrightarrow не является корнем из единицы никакой степени  <n.

Доказательство

Необходимость:
 E – первообразный корень степени  n из единицы .
 \forall  m \in \mathbb{N},  m < n,  E^m \ne 1;
 U_n= \{1, E, E^2, ..., E^{n-1}\}.
От противного. Пусть  E^m= 1,  m < n, тогда  E образует группу  {U}'_n (или  U_m) = \{1, E, E^2, ..., E^{m-1}, E^m\} = \{1, E, E^2, ..., E^{m-1}\}, где  E^m= 1 и  {U}'_n= m, но  m < n \Rightarrow  {U}'_n \ne U_n \Rightarrow  E— не образующий элемент  U_n. Получаем, что  \forall  m \in \mathbb{N},  m < n,  E^m \ne 1.
Достаточность:
 \forall m \in \mathbb{N},  m < n,  E^m \ne 1 \Rightarrow
 E — первообразный корень из единицы степени n.
От противного. Пусть  E-не является первообразным корнем  n-й степени из единицы  \Rightarrow  E не образует группу  U_n \Rightarrow
 U^E_n= {E^0, E^1, E^2,...< E^{n-1} } \ne U_n \Rightarrow U^E_n \in U_n \Rightarrow \exists k, 1 \leqslant k \leqslant n-1, что  E^{k-1}=1, но  0 \leqslant k+1 < n-1 ,  m= k-1  \Rightarrow  \exists  m \in \mathbb{N},  m < n,  E^m = 1 \Rightarrow  E – первообразный корень степени  n из  1.

Лемма

Если  E — первообразный корень степени  n из единицы, то
 E^m= 1 \Leftrightarrow m \vdots n.

Доказательство

Необходимость:
Найдём  m= nq+r,  0 \leq r \leq n-1;
 1= E^m= E^{nq+n}= E^{nr}E^r= (E^n)^qE^r= 1^qE^r= E^r.
Если  r \in \mathbb{N}, то получим противоречие с первым критерием  r=0 \Rightarrow m \vdots n.
Достаточность:  m \vdots n \Rightarrow m=nq;
 E^m= E^{nq}= (E^n)^q= 1^q=1.

Теорема 2 (Второй критерий первообразности)

Пусть  E — первообразный корень степени  n из единицы, тогда  E^k (k \in \mathbb{N}) является первообразным корнем степени  n из единицы  \Leftrightarrow  (n,k)=1.

Доказательство

(n,k)= d;  n= n,d;  k= k,d; (n_1, k_1)=1.
Необходимость:  E,  E^n — корни степени  n из единицы.
 (n,k)=1
От противного.  (n,k)=d > 1 \Rightarrow n_1 < n ;
(E^k)^{n_1} = (E^{k_1d})^{n_1}= E^{k_1dn_1}= E^{k_1(nd_1)}= E^{k_1n}= (E^n)^{k_1}= 1^{k_1}=1 \Rightarrow d=1 противоречие.
Достаточность:  E — первообразный корень степени  n из единицы;
 (n,k)=1 ;
 E^k — первообразный корень степени  n из единицы.
От противного. Пусть  E^k – не является первообразным корнем степени  n из единицы, тогда по первому критерию первообразности:  \exists m \in N,  m < n, (E^k)^m= 1;
 E^{km}=1 \Rightarrow по лемме  km \vdots n \Rightarrow m \vdots n , но  m < n – противоречие.

ПРИМЕРЫ

Найти все первообразные корни группы U_{12}, пользуясь вторым критерием первообразности.

РЕШЕНИЕ показать

Даны корни из единицы E_1 = i,  E_3 = -i. Построить группу  U_4.

РЕШЕНИЕ показать

Тест по вышеизложенному материалу

Источники

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций.
  2. Курош А.Г. Курс линейной алгебры. Издание тринадцатое, 2004. Стр.123-128.
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. Наука, 1984. Стр.43-49.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *