Линейная зависимость и независимость систем векторов. Критерии ЛЗ и ЛНЗ.

Теоретический материал

Задача

Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

$x_{1}=(1,2,3)$

$x_{2}=(3,6,7)$

Решение:

Построим линейную комбинацию из векторов системы.

$\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}=0$

$\alpha_{1}(1,2,3)+\alpha_{2}(3,6,7)=0$

$(\alpha_{1},2\alpha_{1},3\alpha_{1})+(3\alpha_{2},6\alpha_{2},7\alpha_{2})=0$

$(\alpha_{1}+3\alpha_{2},2\alpha_{1}+6\alpha_{2},3\alpha_{1}+7\alpha_{2})=0$

Далее, необходимо решить однородную систему линейных уравнений.

$\left\{\begin{matrix}
\alpha_{1} &+3\alpha_{2} &=0 \\
2\alpha_{1}&+6\alpha_{2} &=0 \\
3\alpha_{1}&+7\alpha_{2} &=0
\end{matrix}\right. $

Как видим, первое и второе уравнения линейно зависимы, т.е. ранг системы равен 2. Так как ранг системы совпадает с числом неизвестных, то система имеет только нулевое решение.

$\alpha_{1}=\alpha_{2}=0$

Система линейно независима по критерию ЛНЗ.

 Задача

Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

$x_{1}=(5,4,3)$

$x_{2}=(3,3,2)$

$x_{3}=(8,1,3)$

Решение:

Построим линейную комбинацию из векторов системы.

$\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+\alpha_{3}x_{3}=0$

$\alpha_{1}(5,4,3)+\alpha_{2}(3,3,2)+\alpha_{3}(8,1,3)=0$

$(5\alpha_{1},4\alpha_{2},3\alpha_{3})+(3\alpha_{1},3\alpha_{2},2\alpha_{3})+(8\alpha_{1},\alpha_{2},3\alpha_{3})=0$

Составим систему линейных уравнений.

$
\left\{\begin{matrix}
5\alpha_{1}&+4\alpha_{2} &+,3\alpha_{3} &=0 \\
3\alpha_{1}&+3\alpha_{2} &+2\alpha_{3} &=0 \\
8\alpha_{1}&+\alpha_{2} &+3\alpha_{3} &=0
\end{matrix}\right. $

Решим систему уравнений методом Гаусса.

$\begin{pmatrix}
5 &4 &3 \\
3&3 &2 \\
8&1 &3
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
-1&-2 &-1 \\
0&-3 &-1 \\
0&-15 &-5
\end{pmatrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
-1 &-2 &-1 \\
0&-3 &-1
\end{pmatrix}$

$\left\{\begin{matrix}
-\alpha_{1}&-2\alpha_{2} &-\alpha_{3} &=0 \\
&-3\alpha_{2} &-\alpha_{3} &=0
\end{matrix}\right.$

Общее решение системы будет иметь следующий вид:

$\alpha_{3}=-3\alpha_{2}$

$\alpha_{1}=\alpha_{2}$

Т.е. система линейно зависима по первому критерию ЛЗ.

Литература

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *