Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами

Определение

Пусть \left(X,\mathbb{P}\right), \left(Y,\mathbb{P}\right) — линейные пространства.
A:X\rightarrow Y-линейный оператор, если \forall a,b\in X \forall\alpha,\beta\in \mathbb P A\left(\alpha a+\beta b\right)=\alpha A a+\beta A b.

Примеры часто используемых операторов:

  • \theta:X\rightarrow Y — нулевой оператор
    \forall x\in X \theta x=0;
  • \varepsilon:X\rightarrow X — тождественный (единичный) оператор
    \forall x\in X \varepsilon x=x;
  • \alpha\varepsilon:X\rightarrow X — скалярный оператор
    \forall x\in X \left(\alpha\varepsilon\right)x=\alpha x, \alpha\in\mathbb{P};
  • X=L_{1}+L_{2} — оператор прямого проектирования
    \rho:X\rightarrow L_{1} \forall x\in X x=x_{1}+x_{2}, x_{1}\in L_{1}, x_{2}\in L_{2}, \rho_{x}=x_{1}.

Операции над линейными операторами

Сумма

Пусть A,B — линейные операторы из \Omega\left(X,Y\right)
C:X\rightarrow Y, C=A+B
\forall x\in X Cx=\left(A+B\right)x=Ax+Bx

Произведение оператора и скаляра

Пусть A — линейный оператор из \Omega\left(X,Y\right), \lambda\in\mathbb{P}.
Тогда произведением \lambda A называется отображение: C:X\rightarrow Y
\forall x\in X Cx=\left(\lambda A\right)x=\lambda\left(Ax\right).

Произведение линейных операторов

Пусть A,B — линейные операторы из \Omega\left(X,Y\right) и из \Omega\left(Y,Z\right)
X, Y, Z — линейные пространства над полем \mathbb{P}
BA=C, C:X\rightarrow Z
\forall x\in X Cx=\left(BA\right)x=B\left(Ax\right)
B\circ A

Линейные операторы

Пройдите тест, чтоб узнать насколько хорошо Вы усвоили материал.


Таблица лучших: Линейные операторы

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 Список использованной литературы :

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *