Тригонометрическая форма комплексного числа


Зададим декартову систему координат на плоскости. Изобразим комплексное число в его геометрической форме.
Угол \varphi — аргумент числа z.
Screenshot_3

Между координатами точки существует взаимосвязь, которая верна при различных расположениях точек на плоскости:
a=r\cos\varphi, b=r\sin\varphi, где r — это модуль комплексного числа z.
Эта взаимосвязь получена из определения геометрического представления комплексного числа.
Применив полученные формулы к алгебраической форме комплексного числа \left(z=a+ib\right), мы получим: z=a+ib=r\cos\varphi+i\left(r\sin\varphi\right), таким образом:
z=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right) — тригонометрическая форма комплексного числа z.

Замечание!

Следует различать запись числа в тригонометрической форме и форме на него похожей:
z=r\left(\cos\varphi-i\sin\varphi\right) — не тригонометрическая форма комплексного числа;
z=r\left(\sin\varphi+i\cos\varphi\right) — не тригонометрическая форма комплексного числа;
z=r\left(\cos\left(-\varphi\right)+i\sin\varphi\right) — не тригонометрическая форма комплексного числа;

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

z_1=r_1\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)
z_2=r_2\left(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2\right)

Умножение

z_1z_2=r_1r_2\left(\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2\right)+i\left(\cos\varphi_1\sin\varphi_2+\cos\varphi_2\sin\varphi_1\right)= r_1r_2\left(\cos\left(\varphi_1+\varphi_2\right)+i\sin\left(\varphi_1+\varphi_2\right)\right)

Деление

\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)}{r_2\left(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2\right)}= \frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)\left(\cos\left(-\varphi_2\right)+i\sin\left(-\varphi_2\right)\right)}{\cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2}= \frac{r_1}{r_2}\left(\cos\left(\varphi_1-\varphi_2\right)+i\sin\left(\varphi_1-\varphi_2\right)\right)

Возведение в степень (Формула Муавра)

z\in\mathbb{C}, z=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right), \forall n\in\mathbb{Z}:
z^{n}=r^{n}\left(\cos\left(n\varphi\right)+i\sin\left(n\varphi\right)\right)

Доказательство

Проверим для:
n\in\mathbb{N}:
Математическая индукция.
1.База индукции:
r=1, n=2 z^{2}=r^{2}\left(\cos 2\varphi+i\sin 2\varphi\right)
2.Шаг индукции:
Предположим, что формула верна для n\leq k, k\geq 2. Докажем справедливость формулы для z^{k+1}= z^{k}\cdot z= r^{k}\left(\cos k\varphi+i\sin k\varphi\right)\cdot r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)= r^{k+1}\left(\cos\left(k+1\right)\varphi+i\sin\left(k+1\right)\varphi\right)
n=0:
z^{0}=1= r^{0}\left(\cos\left(0\varphi\right)+i\sin\left(0\varphi\right)\right)= 1\cdot\left(\cos0+isin0\right)
-n\in\mathbb{N}:
z^{n}= \frac{1}{z^{-n}}= \frac{\cos0+i\sin)}{r^{-n}\left(\cos\left(-n\varphi\right)+i\sin\left(-n\varphi\right)\right)}= r^{n}\frac{\cos\left(-n\varphi\right)-i\sin\left(-n\varphi\right)}{1}= r^{n}\left(\cos\left(n\varphi\right)+i\sin\left(n\varphi\right)\right)
Таким образом можно заключить, что формула справедлива для всех целых n.

Тригонометрическое представление комплексных чисел

Пройдите тест, чтобы узнать хорошо ли Вы поняли материал.


Таблица лучших: Тригонометрическое представление комплексных чисел

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 Список использованной литературы :

  • Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, Глава 4, § 18, «Дальнейшее изучение комплексных чисел» стр.117-118;
  •  Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С.Белозерова
  • Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 2, §2, стр.31-39

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *