Четность перестановки


Перестановка, содержащая четное количество инверсий, называется четной, в противном случае — нечетной.

Лемма. Если в перестановке длинны больше n, n\ge2 , поменять местами 2 элемента , то четность поменяется на противоположную.
Доказательство:
Докажем, что всякая транспозиция меняет четность перестановки. Для чисел, стоящих рядом, это утверждение очевидно. Их взаимное расположение относительно других чисел осталось прежним, а перестановка самих чисел меняет общее число инверсий на единицу.
Пусть теперь между переставляемыми числами i и j находятся s других чисел l_1, l_2, \cdots, l_s, т. е. перестановка имеет вид \cdots, i, l_1, l_2, \cdots, l_s, j, \cdots.
Будем менять местами число i последовательно с рядом стоящими числами l_1, l_2, \cdots, l_s, j. Затем число j, стоящее уже перед i , переместим влево при помощи s транспозиций с числами l_s, l_{s-1}, \cdots, l_1. Таким образом, всего мы выполним 2s+1 транспозиций рядом стоящих чисел. Следовательно, четность перестановки изменится.
Лемма доказана.

Пример четной перестановки
Четная перестановка
Данная перестановка является четной, так как содержит 2 инверсии, числа 3 и 2, 6 и 5 образуют инверсии.
Пример нечетной перестановки
Нечетная перестановка
Данная перестановка является нечетной, так как содержит 3 инверсии, числа 2 и 1, 5 и 4, 7 и 6 образуют инверсии.

Транспозиция меняет четность.
Лемма. Все n!-перестановок длины n можно расположить одну за другой таким образом, что каждая последующая получается из предыдущей одной транспозицией. Причем можно начинать такое упорядочивание с любой перестановки.

Следствие. При n\ge2 число четных перестановок из n символов равно числу нечетных, т.е. \frac{n!}{2}.

Литература

  1. Белозёров Г.С. Конспект лекций по алгебре и геометрии
  2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры 431 стр. М.: Наука, 1968, Стр. 28-30
  3. Воеводин В.В. Линейная алгебра 400 стр. М.: Наука, 1980, Стр. 122-124

Четность перестановки

Четность перестановки


Таблица лучших: Четность перестановки

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *