Равномерная непрерывность

Определение

Пусть функция $ f $ определена на $ [a,b] $. Тогда $ f $ называется равномерно непрерывной, если $ \forall~\varepsilon>0 $ $ \exists~\delta=\delta(\varepsilon)~>0\ $ такие, что $ \forall x_1,~x_2~\epsilon~[a,b] $, $ |x_1 — x_2| < \delta $, выполняется неравенство $ | f(x_1) — f(x_2) | < \varepsilon $.

Очевидно, что равномерно непрерывная в своей области определения функция непрерывна в ней. Но обратное не всегда верно.

Рассмотрим некоторые примеры.

Спойлер

  1. Показать, что равномерная функция $ f(x)=\frac{1}{x} $ на $ (0,1) $ не является равномерно непрерывной.
    $ \forall \varepsilon > 0 $ $ \exists \delta > 0 $, что $ |\frac{1}{n} — \frac{1}{n_0}| < \varepsilon $ $ \forall~n $, что $ |x-x_0| < \delta $.
    $ |\frac{1}{n}-\frac{1}{n_0}|<\varepsilon $ $ \Rightarrow $ $ \frac{1}{n}-\varepsilon < \frac{1}{n} < \frac{1}{n_0} + \varepsilon $ $ \Rightarrow \frac{n_0}{1+\varepsilon n_0} < n < \frac{n_0}{1-\varepsilon n_0} $ $ \Rightarrow $ $ n_o — \frac{\varepsilon n^2_0}{1+\varepsilon n_0} < n < n_0 + \frac{\varepsilon n^2_0}{1-\varepsilon n_0} $ $ \rightarrow 0 $, $ n \rightarrow \infty $.
    Это значит, что $ |x-x_0| $ может быть меньше заданного положительного числа, но какое бы мы не взяли положительное $ \delta $, мы можем приближать $ n_0 $ к $ 0 $ так близко, что $ |\frac{1}{n}-\frac{1}{n_0}| > \varepsilon $, однако $ |n — n_0| < \delta $. Следовательно, функция $ f(x)=\frac{1}{x} $ является непрерывной, но не равномерно непрерывной на $ (0,1) $.

  2. Исследовать на равномерную непрерывность функцию $ f(x) = \frac{x}{4-x^2} $ на отрезке $ [-1,1] $.

    $ |f(x_1) — f(x_2)| $ $ = $ $ |\frac{x_1}{4-x_1^2} — \frac{x_2}{4-x_2^2}| $ $ = $ $ |\frac{4+x_1x_2}{(4-x_1^2)(4-x_2^2)}| \cdot |x_1-x_2| $.

    $ |\frac{4+x_1x_2}{(4-x_1^2)(4-x_2^2)}| < \frac{4+1}{3 \cdot 3} $ $ = \frac{5}{9} < 1 $.

    Зафиксируем произвольное $ \varepsilon > 0 $ и положим $ \delta = \varepsilon $.

    Тогда $ |x_1 — x_2| < \delta$, $ \forall x_1,~x_2 $ $ (x_1,~x_2~\epsilon ~ [-1,1]) $ $ | f(x_1) — f(x_2) | < \varepsilon $.

    Следовательно, функция $ f(x) $ на $ [-1,1] $ равномерно непрерывна.

  3. Доказать, что функция $ f(x)=\sqrt{x} $ равномерно непрерывна на $ [1,+\infty] $.

    По теореме Лагранжа $ \forall x_1\geq 1 $ и $ \forall x_2\geq 1 $

    $ |f(x_2)-f(x_1)| $ $ = $ $ |f(\xi)||x_2-x_1| $ $ = $ $ \frac{1}{2\sqrt\xi)}|x_2-x_1|<\frac{1}{2}|x_2-x_1| $

    Если для $ \varepsilon>0 $ выбрать любое $ \delta $, $ 0<\delta\leq2\varepsilon $, то при $ |x_2-x_1|<\delta $ выполняется $ ~ $ $ |f(x_2)-f(x_1)|<\varepsilon $, иначе говоря, $ f(x)=\sqrt{x} $ является равномерно непрерывной на $ [1,+\infty] $.

[свернуть]

Список использованной литературы:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *