Теорема Кантора

Если функция $ f $ определена и непрерывна на сегменте $ [a,b] $, то она равномерно непрерывна на $ [a,b] $.

Доказательство

Проведем доказательство методом от противного. Пусть $ f $ не равномерно непрерывна на $ [a,b] $, тогда

$ \exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0 $ $ \exists~ x’,~x»~ \epsilon~[a,b] $, $ |x’-x»| < \delta $ : $ |f(x’) — f(x»)| \geq \varepsilon $.

Выберем последовательность $ \delta_n = \frac{1}{n} $, $ n = \overline{1,+\infty} $. Согласно допущению, найдутся такие последовательности $ \left\{x’_n \right\}_{n=1}^\infty $, $ \left\{x»_n \right\}_{n=1}^\infty $, что:

$ x’_n,~x»_n~\epsilon~[a,b] $, $ |x’_n-x»_n|<\delta_n = \frac{1}{n} $ : $ |x’-x»| < \delta $ : $ |f(x’_n) — f(x»_n)| \geq \varepsilon $.

Последовательность $ \left\{x’_n \right\}_{n=1}^\infty $ ограничена и поэтому имеет подпоследовательность $ \left\{x’_{n_{i}} \right\}_{i=1}^\infty $, которая сходится к элементу $ x_0 $, причем что $ x_0~\epsilon~[a,b] $. Тогда для подпоследовательности $ \left\{x»_{n_{i}} \right\}_{n=1}^\infty $ $ x_0~\epsilon~[a,b] $ так же является пределом.

По условию теоремы $ f $ — непрерывна на $ [a,b] $, поэтому

$ \lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x’_{n_{i}}) = f(x_0) = \lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x»_{n_{i}}) $.

Это противоречит тому, что $ |f(x’_{n_{i}}-f(x»_{n_{i}})| \geq \varepsilon > 0 $, $ \forall i = \overline{1,+\infty}$.

Это противоречие и доказывает теорему.

$ \blacksquare $

Решим таким же методом, каким было проведено доказательство теоремы, пример.

Спойлер

Доказать, что ограниченная и непрерывная функция $ f(x)=\sin{\frac{\pi}{x}} $ не является равномерно непрерывной на $ (0,1) $.

$ f(x) $ — ограничена и непрерывна. Тогда $ \exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0 $ $ \exists~ x’,~x»~ \epsilon~(0,1) $ $ |x’-x»| < \delta $: $ |f(x’) — f(x»)| \geq \varepsilon $. Выберем такие подпоследовательности $ x’_n = \frac{1}{n},~x»_n = \frac{2}{2n-1} $.

$ |f(x’) — f(x»)| $ $ = $ $ |\sin{\pi n} — \sin{\frac{(2n-1)\pi}{2}}| = 1 $.
$ |x’ — x»| = |\frac{1}{n} — \frac{2}{2n-1} $ $ = $ $ |\frac{2n-1-2n}{n(2n-1)}| $ $ = $ $ \frac{1}{n(2n-1)} $ $ \rightarrow 0 $.

$ \exists \varepsilon = 1 ~ \forall \delta $ можно выделить такие подпоследовательности $ x’_n=\frac{1}{n},~x»_n = \frac{2}{2n-1} $ $ |x’_n-x»_n| < \frac{1}{n} $.

$ n > \frac{1}{\delta} $: $ |f(x’_n)-f(x»_n)| = 1 \geq \varepsilon $. Следовательно, функция не является равномерно непрерывной на $ (0,1) $.

[свернуть]

Список использованной литературы:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *