Нахождение собственных подпространств линейного оператора

Задача

Дана матрица линейного оператора, заданного в некотором базисе. Найти собственное подпростанство линейного оператора.

A=\begin{pmatrix}  3 & -2 & 2\\  2 & -1 & 2\\  2 & -2 & 3  \end{pmatrix}

Решение

Решим характерестическое уравнение:

\det\left| {A-\lambda E}\right| = \left| \begin{array}{ccc}3-\lambda &-2 &2\\2 &-1-\lambda &2\\2 &-2 &3-\lambda\end{array}\right| =

= (3-\lambda) \left| \begin{array}{ccc}-1-\lambda & 2\\-2 & 3-\lambda\end{array}\right| + 2 \left| \begin{array}{ccc}2 &2\\2 & 3 -\lambda \end{array}\right| + 2 \left| \begin{array}{ccc}2 &-1-\lambda\\2 &-2 \end{array}\right| =

=(3-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda +1) + 2(-2\lambda +2) + 2(2\lambda - 2) =

=(3-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda +1)=0
 
Решая уравнение, мы нашли собственные значения \lambda_{1}=3, \lambda_{2} =\lambda_{3}=1 \Rightarrow спектр оператора A состорит из двух собственных значений.

Теперь найдём собственные вектора:

1.Пусть \lambda = 1.
\begin{cases}2x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 0\end{cases}

Пусть x_2 и x_3свободные переменные, а x_1зависимая, т.е. x_1=x_2-x_3:

x_1 x_2 x_3
1 2 1
0 1 1

Собственный вектор: X_1=A_1\left(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right), X_2 = {A_{2} \left(  \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)}

2.Пусть \lambda = 3.
\begin{cases}-2x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 - 4x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 - 2x_2 = 0\end{cases}

Пусть x_2 — свободная переменные, а x_1 и x_3 — зависимые:

x_1 x_2 x_3
1 1 1

Собственный вектор: X_3=A_3\left(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)

Так как собственные векторы при собственных значениях образуют базис собственного подпрастранства \Rightarrow
E_{\lambda_{1}} = \langle  {A_{3} \left(  \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)}\rangle
E_{\lambda_{2}} = \langle  {A_{1} \left(  \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right)}, {A_{2} \left(  \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)}\rangle

Список литературы:

Нахождение собственных подпространств линейного оператора

Тест по теме «Нахождение собственных подпространств линейного оператора »


Таблица лучших: Нахождение собственных подпространств линейного оператора

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *