Симметрическая группа

Перестановкой n элементов называется биекция n— элементного множества на себя. Умножение перестановок проводится согласно правилу композиции отображений: (\sigma \tau)=\sigma(\tau (i)), где \sigma, \tau \in S_{n}.

Для \sigma =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\2 & 3 & 4 & 1\end{pmatrix},  \tau =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 3& 2 & 1\end{pmatrix} получим:

\sigma \tau=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\2 & 3 & 4&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\1 & 4 & 3 & 2\end{pmatrix}, а

\tau\sigma=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3& 4\\2 & 3 & 4 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\3 & 2 & 1 & 4\end{pmatrix}, следовательно
\sigma\tau\neq\tau\sigma.

Рассмотрим некоторые свойства умножения перестановок, а именно:

  1. ассоциативность, т. е. (\alpha \beta )\gamma =\alpha (\beta \gamma ) \forall \alpha, \beta, \gamma\in S_{n};
  2. наличие единичного элемента e такого, что \pi e=\pi=e\pi, где \pi— произвольная перестановка;
  3. \forall \pi\in S_{n} \exists \pi^{-1}: \pi \pi^{-1}=\pi^{-1}\pi =e .

Отсюда следует определение группы S_{n}:
Множество S_{n}, рассматриваемое вместе с естественной операцией умножения его элементов (композицией перестановок), называется симметрической группой степени n.

Основные свойства S_{n}:

  1. S_{n} — некоммутативна (при n\leq 3);
  2. S_{n} — неразрешима (при  n\geq 5);
  3. S_{n} - разрешима (при n\leq 4);
  4. Порядок симметрической группы перестановок (число элементов) S_{n} равен n!, т. е. |S_{n}|=n!;
  5. Порядок подгруппы группы S_{n}, образованной множеством всех четных перестановок равен (\frac{n}{2})!;
  6. Каждая конечная группа G изоморфна некоторой подгруппе группы S(G) (теорема Кэли).

Рассмотрим симметрическую группу перестановок S_{3}:

e=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\1& 2 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\1& 3 & 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\2& 1 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\2& 3 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\3& 1 & 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\3& 2 & 1\end{pmatrix}

Порядок группы |S_{3}|=3!=6.

Пример: Граф Кэли симметрической группы S_{4}.

Список использованной литературы:

Подведение итогов.


Таблица лучших: Симметрическая группа

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *