Нахождение собственных подпространств линейного оператора

Задача

Дана матрица линейного оператора, заданного в некотором базисе. Найти собственное подпростанство линейного оператора.

$ A=\begin{pmatrix}
3 & -2 & 2\\
2 & -1 & 2\\
2 & -2 & 3
\end{pmatrix}$

Решение

Решим характерестическое уравнение:

[latex]\det\left| {A-\lambda E}\right| = [/latex] [latex]\left| \begin{array}{ccc}3-\lambda &-2 &2\\2 &-1-\lambda &2\\2 &-2 &3-\lambda\end{array}\right| =[/latex]

[latex]= (3-\lambda) \left| \begin{array}{ccc}-1-\lambda & 2\\-2 & 3-\lambda\end{array}\right| + 2 \left| \begin{array}{ccc}2 &2\\2 & 3 -\lambda \end{array}\right| + 2 \left| \begin{array}{ccc}2 &-1-\lambda\\2 &-2 \end{array}\right| =[/latex]

$ =(3-\lambda)(\lambda^2 — 2\lambda +1) + 2(-2\lambda +2) + 2(2\lambda — 2) =$

$ =(3-\lambda)(\lambda^2 — 2\lambda +1)=0$
 
Решая уравнение, мы нашли собственные значения $ \lambda_{1}=3,$ $ \lambda_{2} =\lambda_{3}=1 \Rightarrow $ спектр оператора $ A$ состорит из двух собственных значений.

Теперь найдём собственные вектора:

1.Пусть $ \lambda = 1$.
$ \begin{cases}2x_1 — 2x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 — 2x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 — 2x_2 + 2x_3 = 0\end{cases}$

Пусть $ x_2$ и $ x_3$ — свободные переменные, а $ x_1$ — зависимая, т.е. $ x_1=x_2-x_3$:

$ x_1$ $ x_2$ $ x_3$
1 2 1
0 1 1

Собственный вектор: $ X_1=A_1\left(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right)$, $ X_2 = {A_{2} \left(
\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)}$

2.Пусть $ \lambda = 3$.
$ \begin{cases}-2x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 — 4x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 — 2x_2 = 0\end{cases}$

Пусть $ x_2$ — свободная переменные, а $ x_1$ и $ x_3$ — зависимые:

$ x_1$ $ x_2$ $ x_3$
1 1 1

Собственный вектор: $ X_3=A_3\left(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)$

Так как собственные векторы при собственных значениях образуют базис собственного подпрастранства $ \Rightarrow$
$ E_{\lambda_{1}} = $ $ \langle {A_{3} \left(
\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)}\rangle$
$ E_{\lambda_{2}} = $ $ \langle {A_{1} \left(
\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right)}$, $ {A_{2} \left(
\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)}\rangle$

Список литературы:

Нахождение собственных подпространств линейного оператора

Тест по теме «Нахождение собственных подпространств линейного оператора »


Таблица лучших: Нахождение собственных подпространств линейного оператора

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *