Критерии прямой суммы

Даны пространства U, V\subseteq \mathbb{R}^{n}, заданные следующим образом U=\{(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}^{n}|x_1+\ldots+x_n=0\}, V=\{(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}^{n}|x_1=x_2=\ldots=x_n\}
Докажем, что \mathbb{R}^{n} = U \oplus V


Если U\cap V = \{0\}, то U+V=U\oplus V (по второму критерию прямой суммы)
Предположим, что существует ненулевой вектор x удовлетворяющий условиям
x_1=x_2=\ldots=x_n и x_1+x_2+\ldots+x_n=0, то есть x\in U \cap V
Так как x\ne 0, то одна из его координат отлична от нуля, а из первого условия следует, что и все координаты ненулевые.
Положим x_1=\ldots=x_n=a(a\ne 0, a\in \mathbb{R}) и используя второе условие получим, что na=0, и так как n>0 \Rightarrow a=0 \Rightarrow x=0 получим противоречие с тем, что x\ne 0 \RightarrowU\cap V=\{0\}\RightarrowU+V=U\oplus V.
Найдем размерности U и V.
Очевидно, что \dim V=1 и ее базисом может быть вектор (1, 1,\ldots, 1)(ЛНЗ тривиальна, полнота очевидна)
Теперь докажем, что система из n-1 векторов
\langle (1, -1, 0,\ldots, 0), (1, 0, -1,\ldots, 0),\ldots, (1, 0, 0,\ldots, -1)\rangle базис U. Очевидно что она ЛНЗ, т.к.
rk = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 0 & -1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & -1 \\ \end{pmatrix}=n-1
Теперь проверим полноту системы. Покажем, что для  \forall x\in U выполняется условие x_1+x_2+\ldots+x_n=0 (x=(x_1, x_2,\ldots, x_n)).
Составим линейную комбинацию:
x=x_1(1,-1,0,\ldots, 0)+\ldots+\alpha_{n-1}(1,00,\ldots, -1)=
=(\alpha_1+\ldots+\alpha_{n-1}, -\alpha_1, \ldots, -\alpha_{n-1})
\alpha_1+\ldots+\alpha_{n-1}+(-\alpha_1)+\ldots+(-\alpha_{n-1})=0 \Rightarrow любой вектор из U выражается через эту систему.
Следовательно \langle (1, -1,\ldots, 0),\ldots,(1, 0,\ldots, -1)\rangle базис U и \dim U = n-1. Из формулы \dim(V+U)=\dim V + \dim U - \dim(V+U) получаем, что \dim(U+V)=\dim(U\oplus V)=n\Rightarrow т.к. U, V\subseteq \mathbb{R}^{n}, то U\oplus V = \mathbb{R}^{n}.

V, U\subseteq \mathbb{R}^{n} U=\langle (1, 1, 1, 1), (-1, -2, 0, 1)\rangle V=\langle (-1, -1, 1, -1), (2, 2, 0, 1)\rangle
Докажем, что \mathbb{R}_{4}=U\oplus V


rk(S) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & 0 & -1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & -1 \\ \end{pmatrix}=n-1

Теперь докажем, что система из n-1 векторов
 S=\langle (1, -1, 0,\ldots, 0), (1, 0, -1,\ldots, 0),\ldots, (1, 0, 0,\ldots, -1)\rangle .

Покажем, что  \forall x\in U на
 x=x_1(1,-1,0,\ldots, 0)+\ldots+\alpha_{n-1}(1,00,\ldots, -1)=
 =(\alpha_1+\ldots+\alpha_{n-1}, -\alpha_1, \ldots, -\alpha_{n-1}) на  x=x_1(1,-1,0,\ldots, 0)+\ldots+\alpha_{n-1}(1,0,\ldots, -1)=
 =(\alpha_1+\ldots+\alpha_{n-1}, -\alpha_1, \ldots, -\alpha_{n-1}).

Из формулы  \dim(V+U)=\dim V + \dim U - \dim(V+U) получаем, что  \dim(U+V)=\dim(U\oplus V)=n\Rightarrow , так как U, V\subseteq \mathbb{R}^{n}, то  U\oplus V = \mathbb{R}^{n} .
Так как сумма прямая, то по первому критерию объединение базисов суммируемых пространств: есть базис суммы этих пространств  \dim(U+V)=\dim(U\oplus V)=n=\dim(\mathbb{R}^{n}) \Rightarrow U\oplus V=\mathbb{R}^{n}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *