М1586

Формулировка:

Из некоторого прямоугольника вырезан равносторонний треугольник так, что одна из его вершин находится в вершине прямоугольника, а две другие лежат на сторонах прямоугольника ( не содержащих эту вершину ). Докажите, что площадь одного из оставшихся прямоугольных треугольников равна сумме площадей двух других.

questPic1586

Решение:

Одно из решений (см. рисунок): если \angle BAM=\alpha, то \angle CBL= 180^{\circ} - (90^{\circ} - \alpha ) - 60^{\circ} =  = 30^{\circ} + \alpha, \angle CAK = 30^{\circ} - \alpha,  \angle BCL=60^{\circ} - \alpha, и утверждение задачи сводится к проверке тождества (для 0<\alpha <30^{\circ}):

\sin \alpha \cos \alpha+\sin(30^{\circ} - \alpha )\cos(30^{\circ} - \alpha ) = \sin(30^{\circ} + \alpha )\cos(30^{\circ} + \alpha ),

или, переходя к двойным углам, \sin 2\alpha + \sin(60^{\circ} - 2\alpha ) = \sin(60^{\circ} + 2\alpha ).

Оно следует из формулы \sin (60^{\circ} + 2\alpha ) - \sin(60^{\circ}-2\alpha ) = 2\sin2\alpha \cos60^{\circ}.

А.Егоров

М1586: 3 комментария

  1. По крайней мере в одном месте пропущена часть формулы.
    На рисунках угол обозначают дугой окружности с центром в вершине угла, а не скобкой.

    1. Спасибо за замечание, уже переделал рисунок с использованием дуги эллипса и исправил формулу.

  2. Существенных замечаний нет. Оценка несколько снижена из-за слабой семантической разметки. Например, никак не выделен автор задачи, условие, решение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *