М1586

Формулировка:

Из некоторого прямоугольника вырезан равносторонний треугольник так, что одна из его вершин находится в вершине прямоугольника, а две другие лежат на сторонах прямоугольника ( не содержащих эту вершину ). Докажите, что площадь одного из оставшихся прямоугольных треугольников равна сумме площадей двух других.

questPic1586

Решение:

Одно из решений (см. рисунок): если [latex]\angle BAM=\alpha, [/latex] то [latex]\angle CBL=[/latex] [latex]180^{\circ} — (90^{\circ} — \alpha ) — [/latex] [latex]60^{\circ} = [/latex] [latex] = 30^{\circ} + \alpha, [/latex] [latex]\angle CAK = 30^{\circ} — \alpha, [/latex] [latex]\angle BCL=60^{\circ} — \alpha[/latex], и утверждение задачи сводится к проверке тождества (для [latex]0<\alpha <30^{\circ}[/latex]):

[latex]\sin \alpha \cos \alpha+\sin(30^{\circ} — \alpha )\cos(30^{\circ} — \alpha ) = \sin(30^{\circ} + \alpha )\cos(30^{\circ} + \alpha ), [/latex]

или, переходя к двойным углам, [latex]\sin 2\alpha + \sin(60^{\circ} — 2\alpha ) = \sin(60^{\circ} + 2\alpha )[/latex].

Оно следует из формулы [latex]\sin (60^{\circ} + 2\alpha ) — \sin(60^{\circ}-2\alpha ) = 2\sin2\alpha \cos60^{\circ}[/latex].

А.Егоров

М1586: 3 комментария

  1. По крайней мере в одном месте пропущена часть формулы.
    На рисунках угол обозначают дугой окружности с центром в вершине угла, а не скобкой.

    1. Спасибо за замечание, уже переделал рисунок с использованием дуги эллипса и исправил формулу.

  2. Существенных замечаний нет. Оценка несколько снижена из-за слабой семантической разметки. Например, никак не выделен автор задачи, условие, решение.

Добавить комментарий для Максим Швандт Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *