M1554

 

Задача из журнала «Квант» (1996, №4)

Условие

На основании треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ABMN, BCKL, и ACPQ. На отрезках NQ и PK построены квадраты NQZT и PKXY.Найдите разность площадей квадратов NQZT, PKXY, если известна разность площадей квадратовABMN, BCKL.
444

Ответ:

3d (где 3d — заданная разность площадей).

По теореме косинусов (см. рисунок),

NQ^2=AN^2+AQ^2-2AN\cdot AQ\cdot \cos\angle NAQ=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\angle NAQ, BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot \cos\angle BAC .

Поскольку \angle NAC+\angle BAC=180^{\circ}, сумма их косинусов равна 0. Поэтому

NQ^2+BC^2=2AB^2+2AC^2

Аналогично: PK^2+AB^2=2BC^2+2AC^2. Поэтому

NQ^2-PK^2=3AB^2-3BC^2=3d А.Герко, М.Вялый

M1554: 2 комментария

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *