М1577. О высоте, медиане и биссектрисе треугольника

Задача из журнал «Квант» (1997)

Условие

В треугольнике отношение синуса одного угла к косинусу другого равно тангенсу третьего. Докажите, что высота, проведенная из вершины первого угла, медиана, проведенная из вершины второго, и биссектриса третьего угла пересекаются в одной точке.

Решение

M15772

Пусть  \alpha , \beta , \gamma — углы треугольника ABC, в котором AH — высота, BK — медиана, CL — биссектриса. Из  условия

 \frac{\sin \alpha }{\cos \beta }=\tan \gamma  (1)

следует, что углы ABC и ACB острые, поскольку   \sin\alpha >0 и в треугольнике не может быть двух тупых углов. Следовательно, основание H высоты AH — внутренняя точка отрезка BC. Найдем отношения, в которых делят высоту AH (считая от основания) два других отрезка. Высота AH параллелограмма ABCD делится его диагональю BD в отношении:

 \frac{BH}{AD}=\frac{BH}{BC}=\frac{c\cos \gamma }{a}=\frac{\sin\gamma \cos \beta }{\sin \alpha } (2)

Биссектриса же CL делит сторону НА треугольника НАС в отношении:

 \frac{HC}{CA}=\cos\gamma .   (3)

Отношения (2) и (3) равны в том и только в том случае, когда, \sin\gamma\cos\beta =\cos\gamma\sin\alpha , что эквивалентно условию (1).

Таким образом, условие (1) эквивалентно тому, что AH, BK, CL пересекаются в одной точке.

Замечания.

  1. Для треугольника задачи \left | \angle BAC-\frac{\pi }{2} \right |< \frac{\pi }{2}-\angle BAH тогда и только тогда, когда \angle BCA >\frac{\pi }{4}. Это легко следует из (1).
  2. Из предыдущего замечания сразу следует, что если в остроугольном треугольнике ABC биссектриса CL, медиана ВК и высота АН пересекаются в одной точке, то \angle BCA>\frac{\pi }{4}.Это — задача IV Всесоюзной математической олимпиады (см. книгу Н Б Васильева и А А.Егорова «Задачи Всесоюзных математических олимпиад» ~ М .: Наука, 1988; задача 135). Нетрудно показать, что для любого угла ВАС треугольник задачи существует. Из этого следует, что для тупоугольного треугольника задачи неравенство \angle ACB\geq \frac{\pi }{4} выполняется не всегда.
  3. Если в неостроугольном треугольнике ABC высота АН, медиана ВК и биссектриса CL пересекаются в одной точке, то \angle ACB>\angle ABC. Это можно доказать геометрически, но проще — с помощью (1).

Л.Алътшулер, В.Сендерос

М1577. О высоте, медиане и биссектрисе треугольника: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *