Критерий дифференцируемости функции

Определение

Если функция y=f(x) определена в некоторой \delta-окрестности точки x_{0}, а приращение \Delta y функции y=f(x) в точке x_{0} представимо в виде:
\Delta y = A\Delta x + \Delta x \varepsilon (\Delta x),
где A=A(x_{0}) не зависит от \Delta x, а \varepsilon(x) \rightarrow 0 при \Delta x \rightarrow 0, то функция f называется дифференцируемой в точке x_{0}, а произведение A\Delta x называется её дифференциалом в точке x_{0} и обозначается df(x_{0}) или dy.
Таким образом,
\Delta y=dy+o(\Delta x), при \Delta x \rightarrow 0, где dy=A\Delta x.

Теорема (Критерий дифференцируемости функции)

Для того, чтобы функция f была дифференцируема в точке x_{0} необходимо и достаточно, чтобы она имела производную в точке x_{0}. При этом дифференциал функции и её производная связаны следующим равенством:
dy={f}' (x^{0})\Delta x.

Доказательство

Необходимость

Если функция f(x)−дифференцируема в точке  x_{0} , то \exists A: \Delta f(x))=A+\Delta x\alpha (\Delta x), где: \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\alpha (\Delta x)=0.
Отсюда получаем, что \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{A}{\Delta x}+\frac{\Delta x\alpha (\Delta x)}{\Delta x}==\lim_{\Delta x\rightarrow 0}A+\alpha (\Delta x)=A. Отсюда \exists f{}'(x_{0})=A, откуда следут, что dy=f{}'(x_{0})\Delta x.

Достаточность

Если существует  f{}'(x_{0})=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} , то  \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}- f{}'(x_{0}) = \alpha (\Delta x) , где  \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\alpha (\Delta x)=0 . Отсюда следует, что  \Delta f(x)=f{}'(x_{0})\Delta x+\alpha (\Delta x)\Delta x . Полученное равенство означает, что функция  f(x) — дифференцируема в точке  x_{0} .  \square .

Замечание

Приращение  \Delta x часто обозначают символом  dx и называют дифференциалом независимого переменного. По-этому формулу  dy={f}' (x^{0})\Delta x записывают в виде  dy={f}' (x^{0})dx .

Использованная литература

Рекомендованная литература

Тест

Тест:

Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.

Критерий дифференцируемости функции

Тест на знание критерия дифференцируемости функции.

Таблица лучших: Критерий дифференцируемости функции

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий дифференцируемости функции: 1 комментарий

  1. Вы ссылаетесь не на те издания учебников, сканы которых есть на нашем сайте. Например, у нас Тер-Крикоров 2001 года, у Вас — 1988. Этот материал исключили из нового издания? Хорошо, тогда сделайте ссылку, где его можно скачать. С остальной литературой тоже.
    Вы ошиблись разделом. Вы пишите про функции одной переменной.
    Нет ни одного рисунка во всей курсовой работе. Хоть один SVG обязателен.
    В последнем примере под спойлером пусто.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *