М1606. Построение отрезка параллельного стороне треугольника и видимого из середины этой стороны под прямым углом

Задача из журнала «Квант» (1997, №5)

Условие

Дан треугольник ABC. Постройте отрезок DE с концами на сторонах AB и BC, параллельный стороне AC и видимый из середины стороны AC под прямым углом.

Решение

Задача легко решается методом подобия. Пусть P — точка, в которой продолжение медианы BK пересекает полуокружность с центром K и диаметром AC (см. рисунок). При гомотетии с центром B, переводящей точку P в точку K, отрезок AC перейдет в искомый отрезок   DE: этот отрезок параллелен AC и \angle DKE = \angle APC=90
M1606
Заметим, что треугольник AKP(а также CKP) — равнобедренный, поэтому углы \angle DKA = \angle KAP и \angle DKB = \angle APK равны (и, аналогично, \angle BKE = \angle EKC). Таким образом, для построения нужного отрезка DE достаточно провести биссектрисы KD и KE углов AKB и BKC. То, что полученный отрезок DE обладает нужными свойствами, легко доказать непосредственно: \angle DKE = 90, поскольку он состоит из половинок углов, дающие в сумме развернутый угол, а параллельность DE и AC вытекает из равенств, использующих свойства биссектрис:

\frac {AD}{DB} = \frac {AK}{KB} = \frac {CK}{KB} = \frac {CE}{EB}.

Задача имеет и другие решения, связанные с подсчетом углов.

Р.Травкин, Н.Васильев, В.Сендеров

М1606. Построение отрезка параллельного стороне треугольника и видимого из середины этой стороны под прямым углом: 2 комментария

  1. И где тут DE, который нужно было построить?
    Довольно бедно с формулами получилось. Конечно задача хорошая, но не позволила Вам продемонстрировать мастерство владения laTeX.

    1. Исправлено. Мастерство владения laTeX постараюсь продемонстрировать в курсовой работе.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *