Определение квадратичной формы

Определение

Квадратичной формой Q\left(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \right) от n неизвестных x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Обозначая коэффициент при x_{i}^{2} через a_{ii}, а при произведении x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}\left(i\neq j \right) — через a_{ij}+a_{ji}\left(a_{ij}=a_{ji} \right), квадратичную форму Q можно представить в виде

Q\left(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \right) = a_{11}x_{1}^{2}+a_{12}x_{1}x_{2}+...+a_{1n}x_{1}x_{n}+...+a_{n1}x_{n}x_{1}+a_{n2}x_{n}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}x_{i}x_{j}}}

Симметричная матрица A= \left(a_{ij} \right) называется матрицей квадратичной формы Q.

Примеры

Пример 1

Написать матрицу квадратичной формы.
Q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} \right) = 2x_{1}^{2}-5x_{2}^{2}+8x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+6x_{2}x_{3}

Пример 2

Написать квадратичную форму по её матрице.
A=\begin{pmatrix}4 & 0& 2\\ 0& 7 & 1\\ 2&1 &-5 \end{pmatrix}


Ответ: Пример 1 показать

Ответ: Пример 2 показать

Тест на знание квадратичной формы

Тест на умение распознать квадратичную форму и составить для неё матрицу квадратичной формы, а также наоборот — написать квадратичную форму по её матрице.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *