M237. Задачи на нахождении масс вершин в треугольнике

Задача из журнала «Квант» (1973, №12)

Условие

Углы остроугольного треугольника равны \alpha, \beta и \gamma. Какие массы нужно поместить в его вершинах, чтобы центр тяжести этих трех масс попал:

  1.  В точку пересечения высот?
  2. В центр описанной окружности?

Стороны треугольника равны a, b и c. Какие массы нужно поместить в его вершины, чтобы центр тяжести попал:

  1.  В точку пересечения отрезков соединяющих вершины и точки касания противоположных им сторон со вписанной окружностью?
  2. В центр вписанной окружности?

 

Решение

M237_1
Пусть в вершинах треугольника ABC расположены массы m_{a}, m_{b} и m_{c} соответственно. Проведем прямые BD и CE, пересекающиеся внутри треугольника в точке O (рис. 1). Заметим, что для того, чтобы центр тяжести этих масс попал в точкуO, необходимо выполнение соотношений \frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{AD}{DC} и \frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{AE}{BE}. Перейдем теперь к решению задачи.

  1.  Пусть BD и CE — высоты в треугольнике ABC (рис. 2). Тогда \frac{BD}{AD}=tg \alpha, \frac{BD}{DC}=tg \gamma, то есть \frac{AD}{DC}=\frac{tg \gamma}{tg \alpha}.
    Согласно сделанному замечанию, \frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{tg \gamma}{tg \alpha} и аналогично \frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{tg \beta}{tg \alpha}. Значит, в вершины A, B и C треугольника ABC можно поместить, например, массы m_{a}=tg \alpha, m_{b}=tg \beta, m_{c}=tg \gamma.
    M237_2
  2. Пусть O — центр описанной окружности (рис. 3). Имеем:
    \frac{AD}{BD}=\frac{sin \beta_{1}}{sin \alpha},
    \frac{DC}{BD}=\frac{sin \beta_{2}}{sin \gamma}
    (теорема синусов для треугольника ABD и BCD). Поэтому \frac{AD}{DC}=\frac{sin \gamma \cdot sin\beta_{1}}{sin \alpha \cdot sin \beta_{2}}.
    Треугольник BAK — прямоугольный (\measuredangle BAK=90^{\circ}) и \measuredangle BKA=\measuredangle BCA=\gamma; поэтому sin \beta_{1}=cos \gamma. Аналогично sin \beta_{2}=cos \alpha.
    Итак, \frac{AD}{DC}=\frac{sin \gamma}{sin \alpha}\cdot \frac{cos \gamma}{cos \alpha}=\frac{sin 2\gamma}{sin 2\alpha}.
    Учитывая замечание, получаем:
    \frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{sin 2\gamma}{sin 2\alpha}.
    Таким же образом \frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{sin 2\beta}{sin 2\alpha}.
    Значит, можно взять m_{a}=sin 2\alpha, m_{b}=sin 2\beta, m_{c}=sin 2\gamma.
    M237_3
  3.  Легко видеть (см. рис. 4), что AD=p-aDC=p-c, где p=\frac{a+b+c}{2}, поэтому \frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{p-a}{p-c}.
    Аналогично AE=p-a, EB=p-b, то есть \frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{p-a}{p-b}.
    Поэтому достаточно положить m_{a}=\frac{1}{p-a}, m_{b}=\frac{1}{p-b}, m_{c}=\frac{1}{p-c}.
    M237_4
  4. Так как BD — биссектриса угла B (см. рис. 5), то \frac{AD}{DC}=\frac{c}{a} или \frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{c}{a}; соответственно CE — биссектриса угла C и \frac{AE}{BE}=\frac{b}{a}, то есть \frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{b}{a}. Поэтому можно взять m_{a}=a, m_{b}=b, m_{c}=c.
    M237_5

Б. Д. Гинзбург

M237. Задачи на нахождении масс вершин в треугольнике: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *